Номер 14.9, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.9. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 4x - 1$ и, используя график, найдите:

1) значение функции при $x = -0,4; 2,1; 3;$

2) значение аргумента $x$, при котором $f(x) = 6; 3; -2;$

3) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

4) вершину параболы и ось симметрии.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 - 4x - 1$ найдем ключевые характеристики параболы.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

Координата $x_v$ вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Координата $y_v$ вершины: $y_v = f(x_v) = f(2) = 2^2 - 4(2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -5)$.

Ось симметрии параболы:

Это вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x = 2$.

Точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью Oy (x=0): $f(0) = 0^2 - 4(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.

Пересечение с осью Ox (нули функции, f(x)=0): $x^2 - 4x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

$x_1 = 2 - \sqrt{5} \approx -0.24$, $x_2 = 2 + \sqrt{5} \approx 4.24$.

Точки $(-0.24, 0)$ и $(4.24, 0)$.

Составим таблицу значений для построения:

$x=0 \implies y=-1$
$x=1 \implies y = 1^2 - 4(1) - 1 = -4$
$x=2 \implies y = -5$ (вершина)
$x=3 \implies y = 3^2 - 4(3) - 1 = -4$
$x=4 \implies y = 4^2 - 4(4) - 1 = -1$
$x=5 \implies y = 5^2 - 4(5) - 1 = 4$
$x=-1 \implies y = (-1)^2 - 4(-1) - 1 = 4$

Построим график функции, используя эти данные.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

1) значение функции при x = -0,4; 2,1; 3;

Чтобы найти значение функции по графику, нужно найти на оси Ox заданное значение аргумента, провести вертикальную линию до пересечения с графиком и затем провести горизонтальную линию до оси Oy, чтобы определить значение функции.

• При $x = -0.4$: находим на графике точку с абсциссой -0.4. Ее ордината примерно равна $0.8$. Точный расчет: $f(-0.4) = (-0.4)^2 - 4(-0.4) - 1 = 0.16 + 1.6 - 1 = 0.76$.
• При $x = 2.1$: находим точку с абсциссой 2.1. Она находится очень близко к вершине, ее ордината примерно равна $-5$. Точный расчет: $f(2.1) = (2.1)^2 - 4(2.1) - 1 = 4.41 - 8.4 - 1 = -4.99$.
• При $x = 3$: находим точку с абсциссой 3. Ее ордината равна $-4$. Это одна из точек, по которым строился график.

Ответ: $f(-0.4) \approx 0.8$; $f(2.1) \approx -5$; $f(3) = -4$.

2) значение аргумента x, при котором f(x) = 6; 3; -2;

Чтобы найти значения аргумента по графику, нужно провести горизонтальную прямую на уровне заданного значения функции и найти абсциссы точек пересечения этой прямой с параболой.

• $f(x) = 6$: проводим прямую $y=6$ (на графике показана зеленым пунктиром). Она пересекает параболу в двух точках с абсциссами $x \approx -1.3$ и $x \approx 5.3$.
• $f(x) = 3$: проводим прямую $y=3$ (на графике показана оранжевым пунктиром). Она пересекает параболу в точках с абсциссами $x \approx -0.8$ и $x \approx 4.8$.
• $f(x) = -2$: проводим прямую $y=-2$ (на графике показана фиолетовым пунктиром). Она пересекает параболу в точках с абсциссами $x \approx 0.3$ и $x \approx 3.7$.

Ответ: при $f(x)=6$, $x \approx -1.3$ и $x \approx 5.3$; при $f(x)=3$, $x \approx -0.8$ и $x \approx 4.8$; при $f(x)=-2$, $x \approx 0.3$ и $x \approx 3.7$.

3) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. На графике это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.

Из графика видно, что нули функции находятся в точках $x \approx -0.2$ и $x \approx 4.2$. (Точные значения, вычисленные ранее: $x = 2 - \sqrt{5}$ и $x = 2 + \sqrt{5}$).

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит при $x \in (-\infty, 2 - \sqrt{5}) \cup (2 + \sqrt{5}, +\infty)$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит при $x \in (2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5})$.

Ответ: нули функции $x_1 = 2 - \sqrt{5} \approx -0.24$, $x_2 = 2 + \sqrt{5} \approx 4.24$. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 2 - \sqrt{5}) \cup (2 + \sqrt{5}, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5})$.

4) вершину параболы и ось симметрии.

Эти параметры были найдены на этапе анализа функции для построения графика. Вершина — это самая низкая точка параболы, а ось симметрии — это вертикальная линия, делящая параболу на две симметричные части.

Из графика видно, что вершина находится в точке $(2, -5)$. Ось симметрии (показана красным пунктиром) проходит через эту точку, и ее уравнение $x = 2$.

Ответ: вершина параболы: $(2, -5)$; ось симметрии: $x = 2$.