Номер 14.10, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.10. Постройте график функции $f(x) = -x^2 - 6x + 5$ и, используя график, найдите:

1) значение аргумента $x$, при котором $f(x) = 5$; $2$; $-1$;

2) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

3) вершину параболы и ось симметрии;

4) наибольшее значение функции.

Для построения графика функции $f(x) = -x^2 - 6x + 5$ определим его основные параметры. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{-2} = -3$.

$y_v = f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) + 5 = -9 + 18 + 5 = 14$.

Вершина параболы находится в точке $(-3, 14)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = -0^2 - 6(0) + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.

С осью Ox (нули функции, при $f(x)=0$): $-x^2 - 6x + 5 = 0$ или $x^2 + 6x - 5 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36+20}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$.

Точки пересечения с осью Ox: $x_1 = -3 - \sqrt{14} \approx -6.74$ и $x_2 = -3 + \sqrt{14} \approx 0.74$.

Ось симметрии параболы — прямая $x=-3$.

Построим график функции, используя найденные точки и ось симметрии.

Теперь, используя график и вычисления, ответим на поставленные вопросы.

1) значение аргумента x, при котором f(x) = 5; 2; -1;

Для нахождения значений $x$ нужно решить уравнения $f(x)=k$ для заданных $k$. Графически это соответствует нахождению абсцисс точек пересечения параболы с горизонтальными прямыми $y=5$, $y=2$ и $y=-1$.
• При $f(x)=5$: $-x^2 - 6x + 5 = 5 \implies -x^2 - 6x = 0 \implies -x(x+6) = 0$. Отсюда $x=0$ или $x=-6$.
• При $f(x)=2$: $-x^2 - 6x + 5 = 2 \implies x^2 + 6x - 3 = 0$. Корни: $x = -3 \pm \sqrt{9 - (-3)} = -3 \pm \sqrt{12} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.
• При $f(x)=-1$: $-x^2 - 6x + 5 = -1 \implies x^2 + 6x - 6 = 0$. Корни: $x = -3 \pm \sqrt{9 - (-6)} = -3 \pm \sqrt{15}$.
Ответ: При $f(x)=5, x \in \{-6, 0\}$; при $f(x)=2, x \in \{-3 - 2\sqrt{3}, -3 + 2\sqrt{3}\}$; при $f(x)=-1, x \in \{-3 - \sqrt{15}, -3 + \sqrt{15}\}$.

2) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x)=0$. Мы нашли их ранее: $x_1 = -3 - \sqrt{14}$ и $x_2 = -3 + \sqrt{14}$.
Промежутки знакопостоянства определяются по графику:
• Функция положительна ($f(x)>0$) там, где парабола выше оси Ox, то есть между корнями: $x \in (-3 - \sqrt{14}; -3 + \sqrt{14})$.
• Функция отрицательна ($f(x)<0$) там, где парабола ниже оси Ox, то есть за пределами корней: $x \in (-\infty; -3 - \sqrt{14}) \cup (-3 + \sqrt{14}; +\infty)$.
Ответ: Нули функции: $x_1 = -3 - \sqrt{14}, x_2 = -3 + \sqrt{14}$. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-3 - \sqrt{14}; -3 + \sqrt{14})$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -3 - \sqrt{14}) \cup (-3 + \sqrt{14}; +\infty)$.

3) вершину параболы и ось симметрии;

Вершина параболы была найдена при построении. Это точка с максимальным значением функции. Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину.
Ответ: Вершина параболы: $(-3, 14)$. Ось симметрии: $x=-3$.

4) наибольшее значение функции.

Так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Наибольшее значение функции равно ординате вершины.
Ответ: Наибольшее значение функции равно 14 (достигается при $x=-3$).