Страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.10. Постройте график функции $f(x) = -x^2 - 6x + 5$ и, используя график, найдите:

1) значение аргумента $x$, при котором $f(x) = 5$; $2$; $-1$;

2) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

3) вершину параболы и ось симметрии;

4) наибольшее значение функции.

Для построения графика функции $f(x) = -x^2 - 6x + 5$ определим его основные параметры. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{-2} = -3$.

$y_v = f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) + 5 = -9 + 18 + 5 = 14$.

Вершина параболы находится в точке $(-3, 14)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = -0^2 - 6(0) + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.

С осью Ox (нули функции, при $f(x)=0$): $-x^2 - 6x + 5 = 0$ или $x^2 + 6x - 5 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36+20}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$.

Точки пересечения с осью Ox: $x_1 = -3 - \sqrt{14} \approx -6.74$ и $x_2 = -3 + \sqrt{14} \approx 0.74$.

Ось симметрии параболы — прямая $x=-3$.

Построим график функции, используя найденные точки и ось симметрии.

Теперь, используя график и вычисления, ответим на поставленные вопросы.

1) значение аргумента x, при котором f(x) = 5; 2; -1;

Для нахождения значений $x$ нужно решить уравнения $f(x)=k$ для заданных $k$. Графически это соответствует нахождению абсцисс точек пересечения параболы с горизонтальными прямыми $y=5$, $y=2$ и $y=-1$.
• При $f(x)=5$: $-x^2 - 6x + 5 = 5 \implies -x^2 - 6x = 0 \implies -x(x+6) = 0$. Отсюда $x=0$ или $x=-6$.
• При $f(x)=2$: $-x^2 - 6x + 5 = 2 \implies x^2 + 6x - 3 = 0$. Корни: $x = -3 \pm \sqrt{9 - (-3)} = -3 \pm \sqrt{12} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.
• При $f(x)=-1$: $-x^2 - 6x + 5 = -1 \implies x^2 + 6x - 6 = 0$. Корни: $x = -3 \pm \sqrt{9 - (-6)} = -3 \pm \sqrt{15}$.
Ответ: При $f(x)=5, x \in \{-6, 0\}$; при $f(x)=2, x \in \{-3 - 2\sqrt{3}, -3 + 2\sqrt{3}\}$; при $f(x)=-1, x \in \{-3 - \sqrt{15}, -3 + \sqrt{15}\}$.

2) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x)=0$. Мы нашли их ранее: $x_1 = -3 - \sqrt{14}$ и $x_2 = -3 + \sqrt{14}$.
Промежутки знакопостоянства определяются по графику:
• Функция положительна ($f(x)>0$) там, где парабола выше оси Ox, то есть между корнями: $x \in (-3 - \sqrt{14}; -3 + \sqrt{14})$.
• Функция отрицательна ($f(x)<0$) там, где парабола ниже оси Ox, то есть за пределами корней: $x \in (-\infty; -3 - \sqrt{14}) \cup (-3 + \sqrt{14}; +\infty)$.
Ответ: Нули функции: $x_1 = -3 - \sqrt{14}, x_2 = -3 + \sqrt{14}$. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-3 - \sqrt{14}; -3 + \sqrt{14})$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -3 - \sqrt{14}) \cup (-3 + \sqrt{14}; +\infty)$.

3) вершину параболы и ось симметрии;

Вершина параболы была найдена при построении. Это точка с максимальным значением функции. Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину.
Ответ: Вершина параболы: $(-3, 14)$. Ось симметрии: $x=-3$.

4) наибольшее значение функции.

Так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Наибольшее значение функции равно ординате вершины.
Ответ: Наибольшее значение функции равно 14 (достигается при $x=-3$).

14.11. Постройте график функции $f(x) = 2x^2 - 6x + 5$ и, используя график, найдите:

1) вершину параболы и ось симметрии;

2) наименьшее значение и множество значений функции;

3) промежутки возрастания и убывания функции.

Для построения графика функции $f(x) = 2x^2 - 6x + 5$ определим его основные характеристики. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент $a=2$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

1. Найдём вершину параболы.
Координаты вершины $(x_в, y_в)$ вычисляются по формулам:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
$y_в = f(x_в) = f(1.5) = 2 \cdot (1.5)^2 - 6 \cdot 1.5 + 5 = 2 \cdot 2.25 - 9 + 5 = 4.5 - 9 + 5 = 0.5$
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1.5, 0.5)$.

2. Найдём точки пересечения с осями координат и дополнительные точки.
- Ось симметрии параболы проходит через вершину, её уравнение $x = 1.5$.
- Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $f(0) = 2 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
- Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4$. Так как $D < 0$, парабола не пересекает ось OX.
- Найдём симметричные точки относительно оси $x = 1.5$.Точке $(0, 5)$ симметрична точка $(3, 5)$.При $x=1$, $f(1) = 2 - 6 + 5 = 1$. Точке $(1, 1)$ симметрична точка $(2, 1)$.

Составим таблицу значений для построения:
x011.523
y510.515

Построим график функции:

Используя построенный график, ответим на вопросы задачи.

1) вершину параболы и ось симметрии;
На графике видно, что самая низкая точка параболы, её вершина, имеет координаты $(1.5, 0.5)$. Вертикальная прямая, проходящая через эту точку и делящая параболу на две симметричные ветви, является осью симметрии. Её уравнение $x = 1.5$.
Ответ: вершина параболы: $(1.5, 0.5)$, ось симметрии: $x = 1.5$.

2) наименьшее значение и множество значений функции;
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция достигает своего наименьшего значения в вершине. Из графика видно, что наименьшее значение функции (минимальная ордината) равно $0.5$. Функция может принимать любые значения, которые не меньше этого числа.
Ответ: наименьшее значение функции: $y_{min} = 0.5$; множество значений функции: $E(f) = [0.5, +\infty)$.

3) промежутки возрастания и убывания функции.
По графику видно, что слева от вершины (при $x < 1.5$) график функции "идёт вниз", то есть функция убывает. Справа от вершины (при $x > 1.5$) график "идёт вверх", то есть функция возрастает. Точка $x=1.5$ является точкой минимума.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1.5, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 1.5]$.

14.12. Постройте график функции $f(x) = -2x^2 - x + 7$ и, используя график, найдите:

1) вершину параболы и ось симметрии;

2) наибольшее значение и множество значений функции;

3) промежутки возрастания и убывания функции.

Для построения графика функции $f(x) = -2x^2 - x + 7$ необходимо сначала проанализировать ее свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -2 < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем ключевые точки для построения графика.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -b / (2a)$. Для данной функции $a = -2$, $b = -1$.

$x_v = -(-1) / (2 \cdot (-2)) = 1 / (-4) = -0.25$.

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_v$:

$y_v = f(-0.25) = -2(-0.25)^2 - (-0.25) + 7 = -2(0.0625) + 0.25 + 7 = -0.125 + 0.25 + 7 = 7.125$.

Вершина параболы находится в точке $(-0.25, 7.125)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY ($x=0$): $f(0) = -2(0)^2 - 0 + 7 = 7$. Точка $(0, 7)$.

С осью OX ($f(x)=0$): $-2x^2 - x + 7 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 + x - 7 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4(2)(-7) = 1 + 56 = 57$.

$x_{1,2} = (-1 \pm \sqrt{57}) / 4$.

$x_1 \approx (-1 - 7.55) / 4 \approx -2.14$, $x_2 \approx (-1 + 7.55) / 4 \approx 1.64$.

Точки $(\approx-2.14, 0)$ и $(\approx1.64, 0)$.

Дополнительные точки:

Используя симметрию относительно оси $x = -0.25$, найдем симметричные точки:

$f(1) = -2(1)^2 - 1 + 7 = 4$. Точка $(1, 4)$. Симметричная ей точка $(-1.5, 4)$.

$f(2) = -2(2)^2 - 2 + 7 = -3$. Точка $(2, -3)$. Симметричная ей точка $(-2.5, -3)$.

График функции $f(x) = -2x^2 - x + 7$:

Используя график и вычисления, ответим на поставленные вопросы.

1) вершину параболы и ось симметрии;
Вершина параболы, являющаяся ее точкой максимума, была вычислена ранее. На графике она отмечена красным цветом. Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину (на графике — красная пунктирная линия).
Ответ: вершина параболы: $(-0.25, 7.125)$; ось симметрии: $x = -0.25$.

2) наибольшее значение и множество значений функции;
Так как ветви параболы направлены вниз, ее наибольшее значение достигается в вершине и равно ординате вершины. Множество значений функции — это все значения, которые принимает $y$, от минус бесконечности до этого максимума.
Ответ: наибольшее значение: $7.125$; множество значений функции: $E(f) = (-\infty, 7.125]$.

3) промежутки возрастания и убывания функции.
Функция возрастает на промежутке, где график идет вверх (слева направо), и убывает, где график идет вниз. Это определяется положением относительно оси симметрии.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -0.25]$; функция убывает на промежутке $[-0.25, +\infty)$.

Постройте график и опишите свойства функции (14.13–14.17):

14.13. 1) $f(x) = -x^2 - 4x + 6$;

2) $f(x) = -2x^2 - 4x + 1$;

3) $f(x) = -3x^2 - x + 2$.

1) f(x) = -x² - 4x + 6

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (a = -1), что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot (-1)) = 4 / (-2) = -2$.
Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 6 = -4 + 8 + 6 = 10$.
Вершина находится в точке $(-2; 10)$.

2. Ось симметрии параболы:
Прямая $x = -2$.

3. Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (x=0): $f(0) = -0^2 - 4(0) + 6 = 6$. Точка пересечения $(0; 6)$.
С осью Ox (y=0): $-x^2 - 4x + 6 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + 4x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-6) = 16 + 24 = 40$.
Корни: $x_{1,2} = (-4 \pm \sqrt{40}) / 2 = (-4 \pm 2\sqrt{10}) / 2 = -2 \pm \sqrt{10}$.
$x_1 = -2 - \sqrt{10} \approx -5.16$, $x_2 = -2 + \sqrt{10} \approx 1.16$.
Точки пересечения $(-2 - \sqrt{10}; 0)$ и $(-2 + \sqrt{10}; 0)$.

4. Дополнительные точки для построения графика:
Найдем точку, симметричную точке $(0; 6)$ относительно оси симметрии $x=-2$. Её абсцисса $x = -4$. Значение функции $f(-4) = -(-4)^2 - 4(-4) + 6 = -16 + 16 + 6 = 6$. Точка $(-4; 6)$.
Возьмем $x=1$: $f(1) = -1^2 - 4(1) + 6 = 1$. Точка $(1; 1)$.

График функции f(x) = -x² - 4x + 6:

Свойства функции f(x) = -x² - 4x + 6:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 10]$.
3. Нули функции: $x_1 = -2 - \sqrt{10}$, $x_2 = -2 + \sqrt{10}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-2 - \sqrt{10}; -2 + \sqrt{10})$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{10}) \cup (-2 + \sqrt{10}; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и убывает на $[-2; +\infty)$.
6. Точка максимума: $x_{max} = -2$, максимальное значение $y_{max} = 10$.
7. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Ответ: Построен график параболы с вершиной в точке (-2; 10), ветвями вниз. Свойства функции: $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (-\infty; 10]$, нули $x = -2 \pm \sqrt{10}$, возрастает на $(-\infty; -2]$, убывает на $[-2; +\infty)$, $y_{max} = 10$.

2) f(x) = -2x² - 4x + 1

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2 (a = -2), что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot (-2)) = 4 / (-4) = -1$.
Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(-1) = -2(-1)^2 - 4(-1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$.
Вершина находится в точке $(-1; 3)$.

2. Ось симметрии параболы:
Прямая $x = -1$.

3. Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (x=0): $f(0) = -2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$. Точка пересечения $(0; 1)$.
С осью Ox (y=0): $-2x^2 - 4x + 1 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 + 4x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(2)(-1) = 16 + 8 = 24$.
Корни: $x_{1,2} = (-4 \pm \sqrt{24}) / (2 \cdot 2) = (-4 \pm 2\sqrt{6}) / 4 = (-2 \pm \sqrt{6}) / 2$.
$x_1 = (-2 - \sqrt{6}) / 2 \approx -2.22$, $x_2 = (-2 + \sqrt{6}) / 2 \approx 0.22$.
Точки пересечения $( \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}; 0)$ и $(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}; 0)$.

4. Дополнительные точки для построения графика:
Точка, симметричная точке $(0; 1)$ относительно оси $x=-1$, имеет абсциссу $x = -2$. Значение функции $f(-2) = -2(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$. Точка $(-2; 1)$.
Возьмем $x=1$: $f(1) = -2(1)^2 - 4(1) + 1 = -5$. Точка $(1; -5)$.

График функции f(x) = -2x² - 4x + 1:

Свойства функции f(x) = -2x² - 4x + 1:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 3]$.
3. Нули функции: $x = (-2 \pm \sqrt{6}) / 2$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in ( \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}; \frac{-2 + \sqrt{6}}{2} )$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и убывает на $[-1; +\infty)$.
6. Точка максимума: $x_{max} = -1$, максимальное значение $y_{max} = 3$.
7. Функция общего вида.

Ответ: Построен график параболы с вершиной в точке (-1; 3), ветвями вниз. Свойства функции: $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (-\infty; 3]$, нули $x = (-2 \pm \sqrt{6}) / 2$, возрастает на $(-\infty; -1]$, убывает на $[-1; +\infty)$, $y_{max} = 3$.

3) f(x) = -3x² - x + 2

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -3 (a = -3), что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-1) / (2 \cdot (-3)) = 1 / (-6) = -1/6$.
Ордината вершины: $y_0 = f(-1/6) = -3(-1/6)^2 - (-1/6) + 2 = -3/36 + 1/6 + 2 = -1/12 + 2/12 + 24/12 = 25/12$.
Вершина находится в точке $(-1/6; 25/12)$, что примерно равно $(-0.17; 2.08)$.

2. Ось симметрии параболы:
Прямая $x = -1/6$.

3. Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (x=0): $f(0) = -3(0)^2 - 0 + 2 = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.
С осью Ox (y=0): $-3x^2 - x + 2 = 0$. Умножим на -1: $3x^2 + x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$.
Корни: $x_{1,2} = (-1 \pm \sqrt{25}) / (2 \cdot 3) = (-1 \pm 5) / 6$.
$x_1 = (-1 - 5) / 6 = -1$, $x_2 = (-1 + 5) / 6 = 4/6 = 2/3$.
Точки пересечения $(-1; 0)$ и $(2/3; 0)$.

4. Дополнительные точки для построения графика:
Точка, симметричная точке $(0; 2)$ относительно оси $x=-1/6$, имеет абсциссу $x = -1/3$. Значение функции $f(-1/3) = -3(-1/3)^2 - (-1/3) + 2 = -3/9 + 1/3 + 2 = -1/3 + 1/3 + 2 = 2$. Точка $(-1/3; 2)$.
Возьмем $x=1$: $f(1) = -3(1)^2 - 1 + 2 = -2$. Точка $(1; -2)$.

График функции f(x) = -3x² - x + 2:

Свойства функции f(x) = -3x² - x + 2:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 25/12]$.
3. Нули функции: $x_1 = -1$, $x_2 = 2/3$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-1; 2/3)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (2/3; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -1/6]$ и убывает на $[-1/6; +\infty)$.
6. Точка максимума: $x_{max} = -1/6$, максимальное значение $y_{max} = 25/12$.
7. Функция общего вида.

Ответ: Построен график параболы с вершиной в точке (-1/6; 25/12), ветвями вниз. Свойства функции: $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (-\infty; 25/12]$, нули $x_1=-1, x_2=2/3$, возрастает на $(-\infty; -1/6]$, убывает на $[-1/6; +\infty)$, $y_{max} = 25/12$.

14.14.

1) $f(x) = 2x^2 - 3x + 7;$

2) $f(x) = 4x^2 - x - 3;$

3) $f(x) = 3x^2 + 6x - 4.$

1) Дана функция $f(x) = 2x^2 - 3x + 7$. Чтобы найти ее производную $f'(x)$, воспользуемся правилами дифференцирования. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:
$f'(x) = (2x^2 - 3x + 7)' = (2x^2)' - (3x)' + (7)'$.
Для нахождения производных отдельных слагаемых применим правило степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, правило дифференцирования произведения константы на функцию $(cf(x))' = c f'(x)$ и правило для производной константы $(c)'=0$:
$(2x^2)' = 2 \cdot (x^2)' = 2 \cdot 2x^{2-1} = 4x$
$(3x)' = 3 \cdot (x^1)' = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 3 \cdot 1 = 3$
$(7)' = 0$
Собрав все вместе, получаем производную исходной функции:
$f'(x) = 4x - 3 + 0 = 4x - 3$.
Ответ: $f'(x) = 4x - 3$

2) Дана функция $f(x) = 4x^2 - x - 3$. Найдем ее производную $f'(x)$. Используя правило дифференцирования суммы/разности, получаем:
$f'(x) = (4x^2 - x - 3)' = (4x^2)' - (x)' - (3)'$.
По правилу степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и производной константы $(c)'=0$:
$(4x^2)' = 4 \cdot (x^2)' = 4 \cdot 2x^{2-1} = 8x$
$(x)' = (x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1$
$(3)' = 0$
Складывая результаты, имеем:
$f'(x) = 8x - 1 - 0 = 8x - 1$.
Ответ: $f'(x) = 8x - 1$

3) Дана функция $f(x) = 3x^2 + 6x - 4$. Для нахождения производной $f'(x)$ применим правила дифференцирования:
$f'(x) = (3x^2 + 6x - 4)' = (3x^2)' + (6x)' - (4)'$.
Используем правило степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило для производной константы $(c)'=0$:
$(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$
$(6x)' = 6 \cdot (x^1)' = 6 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 6$
$(4)' = 0$
Таким образом, производная функции равна:
$f'(x) = 6x + 6 - 0 = 6x + 6$.
Ответ: $f'(x) = 6x + 6$

14.15. 1) $f(x) = 2.5x^2 - 3x - 1.5$;

2) $f(x) = 0.4x^2 - 2x - 3.6$;

3) $f(x) = 0.3x^2 + 2.6x - 4.8$.

1) Чтобы найти нули (корни) функции $f(x) = 2,5x^2 - 3x - 1,5$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$2,5x^2 - 3x - 1,5 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2 \cdot (2,5x^2 - 3x - 1,5) = 2 \cdot 0$

$5x^2 - 6x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 5$, $b = -6$, $c = -3$.

Найдем дискриминант по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 36 + 60 = 96$

Так как $\Delta > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \frac{6 \pm 4\sqrt{6}}{10}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{3 \pm 2\sqrt{6}}{5}$

Таким образом, нули функции:

$x_1 = \frac{3 + 2\sqrt{6}}{5}$, $x_2 = \frac{3 - 2\sqrt{6}}{5}$

Ответ: $x_1 = \frac{3 + 2\sqrt{6}}{5}, x_2 = \frac{3 - 2\sqrt{6}}{5}$.

2) Чтобы найти нули функции $f(x) = 0,4x^2 - 2x - 3,6$, решим уравнение $f(x) = 0$.

$0,4x^2 - 2x - 3,6 = 0$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$10 \cdot (0,4x^2 - 2x - 3,6) = 10 \cdot 0$

$4x^2 - 20x - 36 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$x^2 - 5x - 9 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -5$, $c = -9$.

Найдем дискриминант по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 25 + 36 = 61$

Так как $\Delta > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2}$

Таким образом, нули функции:

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}$, $x_2 = \frac{5 - \sqrt{61}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{61}}{2}$.

3) Чтобы найти нули функции $f(x) = 0,3x^2 + 2,6x - 4,8$, решим уравнение $f(x) = 0$.

$0,3x^2 + 2,6x - 4,8 = 0$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$10 \cdot (0,3x^2 + 2,6x - 4,8) = 10 \cdot 0$

$3x^2 + 26x - 48 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 3$, $b = 26$, $c = -48$.

Найдем дискриминант по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = 26^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 676 + 576 = 1252$

Так как $\Delta > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x = \frac{-26 \pm \sqrt{1252}}{2 \cdot 3} = \frac{-26 \pm \sqrt{4 \cdot 313}}{6} = \frac{-26 \pm 2\sqrt{313}}{6}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{-13 \pm \sqrt{313}}{3}$

Таким образом, нули функции:

$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{313}}{3}$, $x_2 = \frac{-13 - \sqrt{313}}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{-13 + \sqrt{313}}{3}, x_2 = \frac{-13 - \sqrt{313}}{3}$.

14.16.

1) $y = (2x - 1) \cdot (x + 3)$;

2) $y = (2x - 4) \cdot (x + 4)$;

3) $y = (2x + 3) \cdot (x - 4)$.

1) Для нахождения производной функции $y = (2x - 1)(x + 3)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = 2x - 1$ и $v = x + 3$.
Тогда производные этих функций: $u' = (2x - 1)' = 2$ и $v' = (x + 3)' = 1$.
Подставим эти выражения в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 2(x + 3) + (2x - 1) \cdot 1$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = 2x + 6 + 2x - 1 = 4x + 5$.
Ответ: $y' = 4x + 5$.

2) Для функции $y = (2x - 4)(x + 4)$ найдем производную, используя правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Обозначим $u = 2x - 4$ и $v = x + 4$.
Найдем их производные: $u' = (2x - 4)' = 2$ и $v' = (x + 4)' = 1$.
Подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2(x + 4) + (2x - 4) \cdot 1$.
Упростим полученное выражение:
$y' = 2x + 8 + 2x - 4 = 4x + 4$.
Ответ: $y' = 4x + 4$.

3) Найдем производную функции $y = (2x + 3)(x - 4)$. Применим правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = 2x + 3$ и $v = x - 4$.
Производные этих сомножителей равны: $u' = (2x + 3)' = 2$ и $v' = (x - 4)' = 1$.
Подставим значения в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2(x - 4) + (2x + 3) \cdot 1$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y' = 2x - 8 + 2x + 3 = 4x - 5$.
Ответ: $y' = 4x - 5$.

14.17.

1) $y = (3x - 1) \cdot (2x + 5)$;

2) $y = (3x - 6) \cdot (x - 0,4)$;

3) $y = (2x - 5) \cdot (x - 6)$.

1) Для нахождения производной функции $y = (3x - 1)(2x + 5)$ воспользуемся правилом производной произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3x - 1$ и $v(x) = 2x + 5$.

Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (3x - 1)' = 3$
$v'(x) = (2x + 5)' = 2$

Теперь подставим найденные значения в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 3 \cdot (2x + 5) + (3x - 1) \cdot 2$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = 6x + 15 + 6x - 2$
$y' = 12x + 13$

Ответ: $y' = 12x + 13$

2) Для нахождения производной функции $y = (3x - 6)(x - 0,4)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3x - 6$ и $v(x) = x - 0,4$.

Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (3x - 6)' = 3$
$v'(x) = (x - 0,4)' = 1$

Подставим найденные значения в формулу:
$y' = u'v + uv' = 3 \cdot (x - 0,4) + (3x - 6) \cdot 1$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = 3x - 1,2 + 3x - 6$
$y' = 6x - 7,2$

Ответ: $y' = 6x - 7,2$

3) Для нахождения производной функции $y = (2x - 5)(x - 6)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 2x - 5$ и $v(x) = x - 6$.

Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (2x - 5)' = 2$
$v'(x) = (x - 6)' = 1$

Подставим найденные значения в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2 \cdot (x - 6) + (2x - 5) \cdot 1$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = 2x - 12 + 2x - 5$
$y' = 4x - 17$

Ответ: $y' = 4x - 17$

Найдите координаты вершины и ось симметрии параболы, за-

данной формулой (14.18—14.20):

14.18. 1) $y = (x - 2)^2 - 4$;

2) $y = -3(x + 1)^2 + 3$;

3) $y = 0,1(x - 1)^2 - 1$.

1) Уравнение параболы дано в виде $y = (x - 2)^2 - 4$. Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(h; k)$ записывается как $y = a(x - h)^2 + k$. Сравнивая данное уравнение с общим видом, мы можем определить координаты вершины. В данном случае $a = 1$, $h = 2$ и $k = -4$. Таким образом, координаты вершины параболы – $(2; -4)$. Ось симметрии параболы является вертикальной прямой, проходящей через вершину, и ее уравнение $x = h$. Для этой параболы уравнение оси симметрии – $x = 2$.
Ответ: координаты вершины $(2; -4)$, ось симметрии $x = 2$.

2) Уравнение параболы дано в виде $y = -3(x + 1)^2 + 3$. Это уравнение также представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Выражение $(x + 1)$ можно записать как $(x - (-1))$. Таким образом, уравнение принимает вид $y = -3(x - (-1))^2 + 3$. Сравнивая его с общей формой, находим, что $a = -3$, $h = -1$ и $k = 3$. Координаты вершины параболы – $(-1; 3)$. Ось симметрии параболы задается уравнением $x = h$, следовательно, для данной параболы это прямая $x = -1$.
Ответ: координаты вершины $(-1; 3)$, ось симметрии $x = -1$.

3) Уравнение параболы дано в виде $y = 0.1(x - 1)^2 - 1$. Это уравнение также находится в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Сравнивая данное уравнение с общим видом, мы определяем, что $a = 0.1$, $h = 1$ и $k = -1$. Следовательно, координаты вершины параболы – $(1; -1)$. Ось симметрии параболы описывается уравнением $x = h$, что для данной параболы соответствует прямой $x = 1$.
Ответ: координаты вершины $(1; -1)$, ось симметрии $x = 1$.

14.19. 1) $y = (x + 2)^2 - 9;$

2) $y = -3(x - 2)^2 + 7;$

3) $y = \frac{1}{5}(x - 4)^2 - 9\frac{1}{15}.$

1) $y = (x + 2)^2 - 9$

Это уравнение квадратичной функции, график которой — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, что позволяет легко определить ключевые свойства графика.

Направление ветвей: Коэффициент при скобке $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы: Координаты вершины — $(h, k)$. В данном уравнении $h = -2$ и $k = -9$. Таким образом, вершина находится в точке $(-2, -9)$.

Ось симметрии: Вертикальная прямая, проходящая через вершину, с уравнением $x = h$. Для данной функции это $x = -2$.

Пересечение с осью Oy: Найдем значение $y$ при $x = 0$:
$y = (0 + 2)^2 - 9 = 4 - 9 = -5$.
Точка пересечения с осью Oy — $(0, -5)$.

Пересечение с осью Ox (нули функции): Найдем значения $x$, при которых $y = 0$:
$0 = (x + 2)^2 - 9$
$(x + 2)^2 = 9$
$x + 2 = \pm 3$
$x_1 = 3 - 2 = 1$
$x_2 = -3 - 2 = -5$
Точки пересечения с осью Ox — $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: Вершина: $(-2, -9)$; ось симметрии: $x = -2$; ветви вверх; пересечение с Oy: $(0, -5)$; пересечения с Ox: $(1, 0)$, $(-5, 0)$.

2) $y = -3(x - 2)^2 + 7$

Это уравнение параболы в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

Направление ветвей: Коэффициент $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы: Координаты вершины — $(h, k)$. В данном уравнении $h = 2$ и $k = 7$. Вершина находится в точке $(2, 7)$.

Ось симметрии: Уравнение оси симметрии $x = h$, то есть $x = 2$.

Пересечение с осью Oy: Найдем значение $y$ при $x = 0$:
$y = -3(0 - 2)^2 + 7 = -3(-2)^2 + 7 = -3(4) + 7 = -12 + 7 = -5$.
Точка пересечения с осью Oy — $(0, -5)$.

Пересечение с осью Ox (нули функции): Найдем значения $x$, при которых $y = 0$:
$0 = -3(x - 2)^2 + 7$
$3(x - 2)^2 = 7$
$(x - 2)^2 = \frac{7}{3}$
$x - 2 = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}$
$x = 2 \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$
Точки пересечения с осью Ox — $(2 - \frac{\sqrt{21}}{3}, 0)$ и $(2 + \frac{\sqrt{21}}{3}, 0)$.

Ответ: Вершина: $(2, 7)$; ось симметрии: $x = 2$; ветви вниз; пересечение с Oy: $(0, -5)$; пересечения с Ox: $(2 - \frac{\sqrt{21}}{3}, 0)$, $(2 + \frac{\sqrt{21}}{3}, 0)$.

3) $y = \frac{1}{5}(x - 4)^2 - 9\frac{1}{15}$

Это уравнение параболы в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Для удобства вычислений преобразуем смешанную дробь в неправильную: $9\frac{1}{15} = \frac{9 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{136}{15}$. Уравнение принимает вид: $y = \frac{1}{5}(x - 4)^2 - \frac{136}{15}$.

Направление ветвей: Коэффициент $a = \frac{1}{5}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы: Координаты вершины — $(h, k)$. В данном уравнении $h = 4$ и $k = -\frac{136}{15}$. Вершина находится в точке $(4, -9\frac{1}{15})$.

Ось симметрии: Уравнение оси симметрии $x = h$, то есть $x = 4$.

Пересечение с осью Oy: Найдем значение $y$ при $x = 0$:
$y = \frac{1}{5}(0 - 4)^2 - \frac{136}{15} = \frac{1}{5}(16) - \frac{136}{15} = \frac{16}{5} - \frac{136}{15}$.
Приводим к общему знаменателю: $y = \frac{48}{15} - \frac{136}{15} = -\frac{88}{15} = -5\frac{13}{15}$.
Точка пересечения с осью Oy — $(0, -5\frac{13}{15})$.

Пересечение с осью Ox (нули функции): Найдем значения $x$, при которых $y = 0$:
$0 = \frac{1}{5}(x - 4)^2 - \frac{136}{15}$
$\frac{1}{5}(x - 4)^2 = \frac{136}{15}$
$(x - 4)^2 = \frac{136}{15} \cdot 5 = \frac{136}{3}$
$x - 4 = \pm\sqrt{\frac{136}{3}}$
$x = 4 \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 34}{3}} = 4 \pm 2\sqrt{\frac{34}{3}} = 4 \pm \frac{2\sqrt{102}}{3}$.
Точки пересечения с осью Ox — $(4 - \frac{2\sqrt{102}}{3}, 0)$ и $(4 + \frac{2\sqrt{102}}{3}, 0)$.

Ответ: Вершина: $(4, -9\frac{1}{15})$; ось симметрии: $x = 4$; ветви вверх; пересечение с Oy: $(0, -5\frac{13}{15})$; пересечения с Ox: $(4 - \frac{2\sqrt{102}}{3}, 0)$, $(4 + \frac{2\sqrt{102}}{3}, 0)$.

14.20. 1) $y = -3(x + 3)^2 + 3;$

2) $y = 2(x - 3)^2 - 4;$

3) $y = -\frac{4}{5}(x + 3)^2 + 2\frac{1}{8}.$

1) $y = -3(x + 3)^2 + 3$

Данная функция является квадратичной, и её уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы. Для анализа функции найдем ее ключевые характеристики.

1. Определение коэффициентов и направления ветвей.

Сравнивая уравнение $y = -3(x + 3)^2 + 3$ с общей формой $y = a(x - h)^2 + k$, находим коэффициенты: $a = -3$, $h = -3$, $k = 3$. Поскольку коэффициент $a = -3$ отрицательный ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины и оси симметрии.

Координаты вершины параболы определяются как $(h, k)$. Таким образом, вершина находится в точке $(-3, 3)$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, и ее уравнение $x = h$, то есть $x = -3$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (OY), подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y(0) = -3(0 + 3)^2 + 3 = -3 \cdot 3^2 + 3 = -3 \cdot 9 + 3 = -27 + 3 = -24$.

Следовательно, парабола пересекает ось OY в точке $(0, -24)$.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (OX), приравняем $y$ к нулю и решим уравнение:

$0 = -3(x + 3)^2 + 3$

$3(x + 3)^2 = 3$

$(x + 3)^2 = 1$

$x + 3 = \pm\sqrt{1}$

$x + 3 = 1$ или $x + 3 = -1$

$x_1 = 1 - 3 = -2$

$x_2 = -1 - 3 = -4$

Следовательно, парабола пересекает ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(-4, 0)$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(-3, 3)$, ось симметрии — прямая $x = -3$, ветви параболы направлены вниз. Точка пересечения с осью OY: $(0, -24)$. Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(-4, 0)$.

2) $y = 2(x - 3)^2 - 4$

Это уравнение квадратичной функции в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

1. Определение коэффициентов и направления ветвей.

Из уравнения $y = 2(x - 3)^2 - 4$ находим: $a = 2$, $h = 3$, $k = -4$. Так как коэффициент $a = 2$ положительный ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение вершины и оси симметрии.

Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(3, -4)$. Ось симметрии параболы задается уравнением $x = h$, то есть $x = 3$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью OY, подставим $x = 0$:

$y(0) = 2(0 - 3)^2 - 4 = 2 \cdot (-3)^2 - 4 = 2 \cdot 9 - 4 = 18 - 4 = 14$.

Точка пересечения с осью OY — $(0, 14)$.

Для нахождения точек пересечения с осью OX, приравняем $y$ к нулю:

$0 = 2(x - 3)^2 - 4$

$2(x - 3)^2 = 4$

$(x - 3)^2 = 2$

$x - 3 = \pm \sqrt{2}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 3 + \sqrt{2}$

$x_2 = 3 - \sqrt{2}$

Точки пересечения с осью OX: $(3 + \sqrt{2}, 0)$ и $(3 - \sqrt{2}, 0)$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(3, -4)$, ось симметрии — прямая $x = 3$, ветви параболы направлены вверх. Точка пересечения с осью OY: $(0, 14)$. Точки пересечения с осью OX: $(3 + \sqrt{2}, 0)$ и $(3 - \sqrt{2}, 0)$.

3) $y = -\frac{4}{5}(x + 3)^2 + 2\frac{1}{8}$

Уравнение представляет собой квадратичную функцию в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

1. Определение коэффициентов и направления ветвей.

Из уравнения $y = -\frac{4}{5}(x + 3)^2 + 2\frac{1}{8}$ находим: $a = -\frac{4}{5}$, $h = -3$. Свободный член $k = 2\frac{1}{8}$ переведем в неправильную дробь: $k = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{17}{8}$. Так как коэффициент $a = -\frac{4}{5} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины и оси симметрии.

Координаты вершины $(h, k)$ равны $(-3, 2\frac{1}{8})$ или $(-3, \frac{17}{8})$. Ось симметрии параболы — $x = h$, то есть $x = -3$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью OY, подставим $x = 0$:

$y(0) = -\frac{4}{5}(0 + 3)^2 + \frac{17}{8} = -\frac{4}{5} \cdot 9 + \frac{17}{8} = -\frac{36}{5} + \frac{17}{8}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 40:

$y(0) = -\frac{36 \cdot 8}{40} + \frac{17 \cdot 5}{40} = -\frac{288}{40} + \frac{85}{40} = -\frac{203}{40} = -5\frac{3}{40}$.

Точка пересечения с осью OY — $(0, -5\frac{3}{40})$.

Для нахождения точек пересечения с осью OX, приравняем $y$ к нулю:

$0 = -\frac{4}{5}(x + 3)^2 + \frac{17}{8}$

$\frac{4}{5}(x + 3)^2 = \frac{17}{8}$

$(x + 3)^2 = \frac{17}{8} \cdot \frac{5}{4} = \frac{85}{32}$

$x + 3 = \pm \sqrt{\frac{85}{32}} = \pm \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{32}} = \pm \frac{\sqrt{85}}{4\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{85}\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{170}}{8}$.

Корни уравнения:

$x_1 = -3 + \frac{\sqrt{170}}{8}$

$x_2 = -3 - \frac{\sqrt{170}}{8}$

Точки пересечения с осью OX: $(-3 + \frac{\sqrt{170}}{8}, 0)$ и $(-3 - \frac{\sqrt{170}}{8}, 0)$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(-3, 2\frac{1}{8})$, ось симметрии — прямая $x = -3$, ветви параболы направлены вниз. Точка пересечения с осью OY: $(0, -5\frac{3}{40})$. Точки пересечения с осью OX: $(-3 + \frac{\sqrt{170}}{8}, 0)$ и $(-3 - \frac{\sqrt{170}}{8}, 0)$.