Страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.44. Если в каждую машину погрузить 3,5 т зерна, то останется еще 4 т; а если погрузить 4,5 т зерна, то для загрузки всех машин 43 т зерна не хватит. Сколько имеется машин?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество машин, а $Z$ — общее количество тонн зерна.

Согласно первому условию, если в каждую из $x$ машин погрузить по 3,5 тонны зерна, то останется еще 4 тонны. Это можно выразить уравнением:

$Z = 3.5 \cdot x + 4$

Согласно второму условию, если попытаться погрузить в каждую из $x$ машин по 4,5 тонны зерна, то для полной загрузки всех машин не хватит 43 тонн. Это означает, что имеющееся количество зерна $Z$ на 43 тонны меньше, чем необходимо для такой загрузки. Это можно выразить вторым уравнением:

$Z = 4.5 \cdot x - 43$

Так как левые части обоих уравнений равны (это одно и то же общее количество зерна $Z$), мы можем приравнять их правые части:

$3.5x + 4 = 4.5x - 43$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$4 + 43 = 4.5x - 3.5x$

Выполним вычисления:

$47 = (4.5 - 3.5)x$

$47 = 1x$

$x = 47$

Следовательно, имеется 47 машин.

Проверим решение.
Найдем общее количество зерна, используя первое условие: $Z = 3.5 \cdot 47 + 4 = 164.5 + 4 = 168.5$ т.
Проверим по второму условию: для загрузки 47 машин по 4,5 т нужно $4.5 \cdot 47 = 211.5$ т.
Нехватка зерна составляет $211.5 - 168.5 = 43$ т, что соответствует условию задачи.

Ответ: 47 машин.

14.45. Найдите 20% от 30% числа n, если $n = 3a^2 - 2a$ при:

1) $a = 20$;

2) $a = 12$;

3) $a = 26$;

4) $a = 2,8$.

1)

Сначала найдем значение числа $n$ при $a = 20$ по формуле $n = 3a^2 - 2a$:

$n = 3 \cdot (20)^2 - 2 \cdot 20 = 3 \cdot 400 - 40 = 1200 - 40 = 1160$.

Далее, найдем 20% от 30% числа $n$. Чтобы найти процент от процента, мы переводим проценты в десятичные дроби и перемножаем их. 30% — это 0,3; 20% — это 0,2.

$0.2 \cdot (0.3 \cdot n) = 0.06n$.

Таким образом, нам нужно найти 6% от числа $n$.

$0.06 \cdot 1160 = 69.6$.

Ответ: 69.6.

2)

Найдем значение $n$ при $a = 12$:

$n = 3 \cdot (12)^2 - 2 \cdot 12 = 3 \cdot 144 - 24 = 432 - 24 = 408$.

Теперь вычислим 6% от полученного значения $n$:

$0.06 \cdot 408 = 24.48$.

Ответ: 24.48.

3)

Найдем значение $n$ при $a = 26$:

$n = 3 \cdot (26)^2 - 2 \cdot 26 = 3 \cdot 676 - 52 = 2028 - 52 = 1976$.

Теперь вычислим 6% от полученного значения $n$:

$0.06 \cdot 1976 = 118.56$.

Ответ: 118.56.

4)

Найдем значение $n$ при $a = 2.8$:

$n = 3 \cdot (2.8)^2 - 2 \cdot 2.8 = 3 \cdot 7.84 - 5.6 = 23.52 - 5.6 = 17.92$.

Теперь вычислим 6% от полученного значения $n$:

$0.06 \cdot 17.92 = 1.0752$.

Ответ: 1.0752.

14.46. Площадь прямоугольника равна $72 \text{ см}^2$, его периметр равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

14.46. Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника в сантиметрах.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, $S = 72 \text{ см}^2$.
Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи, $P = 36 \text{ см}$.

Составим систему уравнений на основе этих данных:
$ \begin{cases} a \cdot b = 72 \\ 2(a + b) = 36 \end{cases} $

Упростим второе уравнение системы, разделив обе части на 2:
$a + b = \frac{36}{2}$
$a + b = 18$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:
$ \begin{cases} a \cdot b = 72 \\ a + b = 18 \end{cases} $

Это система, которую можно решить методом подстановки. Выразим $a$ из второго уравнения:
$a = 18 - b$

Подставим полученное выражение для $a$ в первое уравнение:
$(18 - b) \cdot b = 72$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$18b - b^2 = 72$
$-b^2 + 18b - 72 = 0$
$b^2 - 18b + 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$b_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$b_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь найдем соответствующие значения для стороны $a$:
Если $b = 12$, то $a = 18 - 12 = 6$.
Если $b = 6$, то $a = 18 - 6 = 12$.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см.

Проверка:
Площадь: $S = 6 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$. (Соответствует условию)
Периметр: $P = 2(6 \text{ см} + 12 \text{ см}) = 2 \cdot 18 \text{ см} = 36 \text{ см}$. (Соответствует условию)

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см.

14.47.

1) Площадь прямоугольного треугольника равна 180 $cm^2$. Найдите длины катетов треугольника, если один катет длиннее другого катета на 31 см.

2) Площадь прямоугольника равна 84 $cm^2$. Найдите длины сторон прямоугольника, если одна сторона короче другой на 5 см.

1)

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. По условию задачи, площадь равна $180 \text{ см}^2$, следовательно, мы можем составить уравнение: $\frac{1}{2}ab = 180$. Умножив обе части на 2, получим: $ab = 360$.

Также по условию, один катет длиннее другого на 31 см. Пусть $a$ - это длина большего катета, тогда $a = b + 31$. Подставим это выражение в наше уравнение $ab = 360$: $(b + 31) \cdot b = 360$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$: $b^2 + 31b = 360$ $b^2 + 31b - 360 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$: $D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 961 + 1440 = 2401$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$: $\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$. $b_1 = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$. $b_2 = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40$.

Поскольку длина катета не может быть отрицательной величиной, корень $b_2 = -40$ не подходит. Значит, длина одного катета равна 9 см. Найдем длину второго катета: $a = b + 31 = 9 + 31 = 40$ см.

Проверим: площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = \frac{360}{2} = 180 \text{ см}^2$. Условие выполняется.

Ответ: длины катетов треугольника равны 9 см и 40 см.

2)

Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = xy$. По условию задачи, площадь равна $84 \text{ см}^2$, значит, $xy = 84$.

Также известно, что одна сторона короче другой на 5 см. Пусть $x$ - это длина более короткой стороны, тогда $x = y - 5$. Подставим это выражение в уравнение площади $xy = 84$: $(y - 5) \cdot y = 84$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $y^2 - 5y = 84$ $y^2 - 5y - 84 = 0$.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = B^2 - 4AC$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$.

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$: $\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$. $y_1 = \frac{-(-5) + 19}{2} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12$. $y_2 = \frac{-(-5) - 19}{2} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, корень $y_2 = -7$ не является решением задачи. Таким образом, длина одной стороны прямоугольника равна 12 см. Найдем длину второй стороны: $x = y - 5 = 12 - 5 = 7$ см.

Проверим: площадь $S = 7 \cdot 12 = 84 \text{ см}^2$. Условие выполняется.

Ответ: длины сторон прямоугольника равны 7 см и 12 см.

14.48. Температура воздуха в городе N представлена статистическим рядом: -2°C, -2°C, -1°C, 0°C, -3°C, -2°C, -2°C, -5°C, -6°C, -3°C, -3°C, -2°C, -3°C, -5°C, -4°C, -6°C. Составьте вариационный ряд и найдите относительную частоту варианты $(-2^{\circ}C)$ (в %).

Задача состоит из двух частей: составление вариационного ряда и нахождение относительной частоты для указанной варианты.

Составьте вариационный ряд

Исходный статистический ряд температуры: -2°C, -2°C, -1°C, 0°C, -3°C, -2°C, -2°C, -5°C, -6°C, -3°C, -3°C, -2°C, -3°C, -5°C, -4°C, -6°C.

Вариационный ряд — это статистический ряд, упорядоченный по возрастанию (или убыванию) значений вариант. В данном случае мы упорядочим значения температуры от наименьшего к наибольшему.

Сначала выпишем все значения и посчитаем их количество (частоту):

-6°C: 2 раза
-5°C: 2 раза
-4°C: 1 раз
-3°C: 4 раза
-2°C: 5 раз
-1°C: 1 раз
0°C: 1 раз

Общее количество наблюдений: $2+2+1+4+5+1+1 = 16$.

Теперь запишем все значения в порядке возрастания, повторяя каждое значение столько раз, сколько оно встречается в исходном ряду.

Ответ: -6°C, -6°C, -5°C, -5°C, -4°C, -3°C, -3°C, -3°C, -3°C, -2°C, -2°C, -2°C, -2°C, -2°C, -1°C, 0°C.

Найдите относительную частоту варианты (−2°С) (в %)

Относительная частота — это отношение частоты появления некоторой варианты к общему числу наблюдений в ряду.

1. Общее число наблюдений ($N$). Как мы уже посчитали, в ряду всего 16 измерений температуры. Таким образом, $N = 16$.

2. Частота варианты (−2°С) ($n$). Посчитаем, сколько раз в ряду встречается значение -2°C. Оно встречается 5 раз. Таким образом, $n = 5$.

3. Расчет относительной частоты в процентах. Формула для расчета относительной частоты в процентах выглядит так:

$W(\%) = \frac{n}{N} \cdot 100\%$

Подставим наши значения в формулу:

$W(\%) = \frac{5}{16} \cdot 100\%$

Выполним вычисления:

$W(\%) = 0.3125 \cdot 100\% = 31.25\%$

Ответ: 31.25%.

14.49. За II четверть домашнее задание по алгебре было задано 16 раз. Ученик не смог выполнить его два раза. Найдите абсолютную частоту выполнения домашнего задания за II четверть.

Абсолютная частота — это число, показывающее, сколько раз некоторое событие произошло в серии испытаний. В данном случае, мы ищем абсолютную частоту события «выполнение домашнего задания».

По условию задачи, общее количество домашних заданий по алгебре за II четверть (общее число испытаний) равно 16.

Событие «невыполнение домашнего задания» произошло 2 раза.

Чтобы найти абсолютную частоту выполнения домашнего задания, необходимо из общего числа заданий вычесть число невыполненных заданий:$16 - 2 = 14$

Таким образом, ученик выполнил домашнее задание 14 раз. Это и есть искомая абсолютная частота.
Ответ: 14