Страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите координаты вершины и ось симметрии параболы, заданной формулой, и постройте эту параболу (14.21–14.22):

14.21. 1) $f(x) = 5x^2 - 3x + 4$; 2) $f(x) = -3x^2 - 2x + 7$;

3) $f(x) = -2x^2 - 5x + 6$.

1) f(x) = 5x² - 3x + 4

Для параболы, заданной функцией $f(x) = 5x^2 - 3x + 4$, мы имеем коэффициенты $a=5$, $b=-3$, $c=4$.

Координаты вершины
Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = - \frac{b}{2a}$.
$x_v = - \frac{-3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} = 0.3$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение параболы: $y_v = f(x_v)$.
$y_v = 5(0.3)^2 - 3(0.3) + 4 = 5(0.09) - 0.9 + 4 = 0.45 - 0.9 + 4 = 3.55$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(0.3, 3.55)$.

Ось симметрии
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_v$.
Для данной параболы ось симметрии: $x = 0.3$.

Построение графика
1. Вершина параболы: $(0.3, 3.55)$.
2. Так как коэффициент $a=5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=f(0)=4$. Точка $(0, 4)$.
4. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 9 - 80 = -71$. Так как $D < 0$, парабола не пересекает ось OX.
5. Найдем несколько дополнительных точек для построения. Возьмем точки, симметричные относительно оси симметрии $x=0.3$.
Точка, симметричная точке $(0, 4)$, — это точка $(0.6, 4)$.
При $x=1$: $y = 5(1)^2 - 3(1) + 4 = 6$. Точка $(1, 6)$.
Точка, симметричная точке $(1, 6)$, — это точка $(-0.4, 6)$.

Ответ: Координаты вершины: $(0.3, 3.55)$. Ось симметрии: $x=0.3$. График параболы представлен выше.

2) f(x) = -3x² - 2x + 7

Для параболы, заданной функцией $f(x) = -3x^2 - 2x + 7$, мы имеем коэффициенты $a=-3$, $b=-2$, $c=7$.

Координаты вершины
Абсцисса вершины: $x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{-2}{2 \cdot (-3)} = \frac{2}{-6} = - \frac{1}{3}$.
Ордината вершины: $y_v = f(- \frac{1}{3}) = -3(-\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) + 7 = -3(\frac{1}{9}) + \frac{2}{3} + 7 = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 7 = \frac{1}{3} + 7 = 7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$.
Координаты вершины: $(- \frac{1}{3}, \frac{22}{3})$ или примерно $(-0.33, 7.33)$.

Ось симметрии
Уравнение оси симметрии: $x = - \frac{1}{3}$.

Построение графика
1. Вершина параболы: $(- \frac{1}{3}, \frac{22}{3})$.
2. Так как коэффициент $a=-3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=f(0)=7$. Точка $(0, 7)$.
4. Точки пересечения с осью OX: решим уравнение $-3x^2 - 2x + 7 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(-3)(7) = 4 + 84 = 88$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{-6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{-6} = \frac{-1 \mp \sqrt{22}}{3}$.
$x_1 \approx \frac{-1 - 4.69}{3} \approx -1.9$, $x_2 \approx \frac{-1 + 4.69}{3} \approx 1.23$. Точки $(-1.9, 0)$ и $(1.23, 0)$.
5. Дополнительные точки: при $x=1, y = -3-2+7=2$. Точка $(1, 2)$. При $x=-1, y = -3+2+7=6$. Точка $(-1, 6)$.

Ответ: Координаты вершины: $(- \frac{1}{3}, \frac{22}{3})$. Ось симметрии: $x = - \frac{1}{3}$. График параболы представлен выше.

3) f(x) = -2x² - 5x + 6

Для параболы, заданной функцией $f(x) = -2x^2 - 5x + 6$, мы имеем коэффициенты $a=-2$, $b=-5$, $c=6$.

Координаты вершины
Абсцисса вершины: $x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{-5}{2 \cdot (-2)} = \frac{5}{-4} = -1.25$.
Ордината вершины: $y_v = f(-1.25) = -2(-1.25)^2 - 5(-1.25) + 6 = -2(1.5625) + 6.25 + 6 = -3.125 + 6.25 + 6 = 9.125$.
Координаты вершины: $(-1.25, 9.125)$ или $(- \frac{5}{4}, \frac{73}{8})$.

Ось симметрии
Уравнение оси симметрии: $x = -1.25$.

Построение графика
1. Вершина параболы: $(-1.25, 9.125)$.
2. Так как коэффициент $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=f(0)=6$. Точка $(0, 6)$.
4. Точки пересечения с осью OX: решим уравнение $-2x^2 - 5x + 6 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(-2)(6) = 25 + 48 = 73$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{-4}$.
$x_1 \approx \frac{5 - 8.54}{-4} \approx 0.885$, $x_2 \approx \frac{5 + 8.54}{-4} \approx -3.385$. Точки $(0.885, 0)$ и $(-3.385, 0)$.
5. Дополнительные точки: при $x=1, y = -2-5+6=-1$. Точка $(1, -1)$. При $x=-1, y = -2+5+6=9$. Точка $(-1, 9)$. При $x=-2, y = -8+10+6=8$. Точка $(-2, 8)$. При $x=-3, y = -18+15+6=3$. Точка $(-3, 3)$.

Ответ: Координаты вершины: $(-1.25, 9.125)$. Ось симметрии: $x = -1.25$. График параболы представлен выше.

14.22.

1) $f(x) = 0,8x^2 - 3x + 2,3;$

2) $f(x) = -1,3x^2 - 2x + 3,4;$

3) $f(x) = 2,2x^2 - 4x + 6.$

1) Дана функция $f(x) = 0,8x^2 - 3x + 2,3$.

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$. Графиком является парабола. Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции, нужно найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Координаты вершины вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = f(x_0)$.

В данном случае, коэффициенты равны: $a = 0,8$, $b = -3$, $c = 2,3$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 0,8} = \frac{3}{1,6} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1,875$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в функцию:

$y_0 = f(1,875) = 0,8 \cdot (1,875)^2 - 3 \cdot 1,875 + 2,3$.

Выполним вычисления:

$y_0 = 0,8 \cdot 3,515625 - 5,625 + 2,3 = 2,8125 - 5,625 + 2,3 = -2,8125 + 2,3 = -0,5125$.

Поскольку коэффициент $a = 0,8 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, в вершине функция достигает своего наименьшего значения.

Наименьшее значение функции равно $-0,5125$ и достигается при $x = 1,875$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-0,5125$.

2) Дана функция $f(x) = -1,3x^2 - 2x + 3,4$.

Это квадратичная функция с коэффициентами: $a = -1,3$, $b = -2$, $c = 3,4$.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1,3)} = \frac{2}{-2,6} = -\frac{20}{26} = -\frac{10}{13}$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0$ в функцию:

$y_0 = f(-\frac{10}{13}) = -1,3 \cdot (-\frac{10}{13})^2 - 2 \cdot (-\frac{10}{13}) + 3,4$.

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $1,3 = \frac{13}{10}$, $3,4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$.

$y_0 = -\frac{13}{10} \cdot (\frac{100}{169}) + \frac{20}{13} + \frac{17}{5} = -\frac{13 \cdot 100}{10 \cdot 169} + \frac{20}{13} + \frac{17}{5} = -\frac{10}{13} + \frac{20}{13} + \frac{17}{5}$.

$y_0 = \frac{10}{13} + \frac{17}{5} = \frac{10 \cdot 5}{13 \cdot 5} + \frac{17 \cdot 13}{5 \cdot 13} = \frac{50}{65} + \frac{221}{65} = \frac{271}{65}$.

Поскольку коэффициент $a = -1,3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, в вершине функция достигает своего наибольшего значения.

Наибольшее значение функции равно $\frac{271}{65}$ и достигается при $x = -\frac{10}{13}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{271}{65}$.

3) Дана функция $f(x) = 2,2x^2 - 4x + 6$.

Это квадратичная функция с коэффициентами: $a = 2,2$, $b = -4$, $c = 6$.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2,2} = \frac{4}{4,4} = \frac{40}{44} = \frac{10}{11}$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0$ в функцию:

$y_0 = f(\frac{10}{11}) = 2,2 \cdot (\frac{10}{11})^2 - 4 \cdot (\frac{10}{11}) + 6$.

Представим $2,2$ как обыкновенную дробь: $2,2 = \frac{22}{10}$.

$y_0 = \frac{22}{10} \cdot (\frac{10}{11})^2 - \frac{40}{11} + 6 = \frac{22}{10} \cdot \frac{100}{121} - \frac{40}{11} + 6 = \frac{2 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 11 \cdot 11} - \frac{40}{11} + 6$.

$y_0 = \frac{20}{11} - \frac{40}{11} + 6 = -\frac{20}{11} + \frac{66}{11} = \frac{46}{11}$.

Поскольку коэффициент $a = 2,2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, в вершине функция достигает своего наименьшего значения.

Наименьшее значение функции равно $\frac{46}{11}$ и достигается при $x = \frac{10}{11}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{46}{11}$.

Постройте график функции и найдите координаты вершины параболы (14.23–14.25):

14.23. 1) $y = (x - 1,6) \cdot (x + 3,5);$

2) $y = (2,5x - 4) \cdot (x + 2);$

3) $y = (1,2x + 3,6) \cdot (x - 5).$

1) $y = (x - 1,6)(x + 3,5)$

Для построения графика функции, которая является параболой, и нахождения координат ее вершины, выполним следующие шаги:

1. Нахождение точек пересечения с осью абсцисс (Ox).
Точки пересечения с осью Ox — это корни функции, где $y = 0$.
$(x - 1,6)(x + 3,5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 1,6 = 0 \implies x_1 = 1,6$
$x + 3,5 = 0 \implies x_2 = -3,5$
Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(1,6; 0)$ и $(-3,5; 0)$.

2. Нахождение координат вершины параболы.
Абсцисса вершины параболы ($x_в$) находится как среднее арифметическое ее корней:
$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1,6 + (-3,5)}{2} = \frac{-1,9}{2} = -0,95$.
Для нахождения ординаты вершины ($y_в$), подставим значение $x_в$ в уравнение функции:
$y_в = (-0,95 - 1,6)(-0,95 + 3,5) = (-2,55)(2,55) = -6,5025$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(-0,95; -6,5025)$.

3. Определение направления ветвей параболы.
Раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:
$y = x^2 + 3,5x - 1,6x - 5,6 = x^2 + 1,9x - 5,6$.
Коэффициент $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

4. Построение графика.
Используя найденные ключевые точки (вершину и точки пересечения с осями), строим график функции. Точка пересечения с осью Oy находится при $x=0$: $y = (0-1,6)(0+3,5) = -5,6$.

Ответ: Координаты вершины параболы $(-0,95; -6,5025)$.

2) $y = (2,5x - 4)(x + 2)$

Решим задачу аналогичным образом.

1. Нахождение точек пересечения с осью Ox.
При $y = 0$: $(2,5x - 4)(x + 2) = 0$.
$2,5x - 4 = 0 \implies 2,5x = 4 \implies x_1 = \frac{4}{2,5} = 1,6$
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Точки пересечения с осью Ox: $(1,6; 0)$ и $(-2; 0)$.

2. Нахождение координат вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = \frac{1,6 + (-2)}{2} = \frac{-0,4}{2} = -0,2$.
Ордината вершины: $y_в = (2,5(-0,2) - 4)(-0,2 + 2) = (-0,5 - 4)(1,8) = (-4,5)(1,8) = -8,1$.
Координаты вершины параболы: $(-0,2; -8,1)$.

3. Определение направления ветвей параболы.
Раскроем скобки: $y = 2,5x^2 + 5x - 4x - 8 = 2,5x^2 + x - 8$.
Коэффициент $a = 2,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Построение графика.
Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $y = (0-4)(0+2)=-8$. Строим график по точкам.

Ответ: Координаты вершины параболы $(-0,2; -8,1)$.

3) $y = (1,2x + 3,6)(x - 5)$

Проведем аналогичные вычисления для третьей функции.

1. Нахождение точек пересечения с осью Ox.
При $y = 0$: $(1,2x + 3,6)(x - 5) = 0$.
$1,2x + 3,6 = 0 \implies 1,2x = -3,6 \implies x_1 = \frac{-3,6}{1,2} = -3$
$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$
Точки пересечения с осью Ox: $(-3; 0)$ и $(5; 0)$.

2. Нахождение координат вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ордината вершины: $y_в = (1,2(1) + 3,6)(1 - 5) = (1,2 + 3,6)(-4) = (4,8)(-4) = -19,2$.
Координаты вершины параболы: $(1; -19,2)$.

3. Определение направления ветвей параболы.
Раскроем скобки: $y = 1,2x^2 - 6x + 3,6x - 18 = 1,2x^2 - 2,4x - 18$.
Коэффициент $a = 1,2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Построение графика.
Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $y = (3,6)(-5)=-18$. Строим график по точкам.

Ответ: Координаты вершины параболы $(1; -19,2)$.

14.24.

1) $y = (3x - 1) \cdot (2x + 5);$

2) $y = (3x - 6) \cdot (0,4 - x);$

3) $y = -(2x - 5) \cdot (x - 6).$

1) Дана функция $y = (3x - 1)(2x + 5)$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом производной произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

Пусть $u(x) = 3x - 1$ и $v(x) = 2x + 5$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (3x - 1)' = 3$

$v'(x) = (2x + 5)' = 2$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$y' = (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' = 3 \cdot (2x + 5) + (3x - 1) \cdot 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y' = 6x + 15 + 6x - 2$

$y' = 12x + 13$

Ответ: $y' = 12x + 13$

2) Дана функция $y = (3x - 6) \cdot (0,4 - x)$.

Применим правило производной произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

В данном случае, $u(x) = 3x - 6$ и $v(x) = 0,4 - x$.

Находим их производные:

$u'(x) = (3x - 6)' = 3$

$v'(x) = (0,4 - x)' = -1$

Подставляем в формулу:

$y' = (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' = 3 \cdot (0,4 - x) + (3x - 6) \cdot (-1)$

Упростим полученное выражение:

$y' = 1,2 - 3x - 3x + 6$

$y' = 7,2 - 6x$

Ответ: $y' = 7,2 - 6x$

3) Дана функция $y = -(2x - 5)(x - 6)$.

Сначала внесем знак минус в первую скобку: $y = (-2x + 5)(x - 6)$.

Используем правило производной произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

Здесь $u(x) = -2x + 5$ и $v(x) = x - 6$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (-2x + 5)' = -2$

$v'(x) = (x - 6)' = 1$

Подставим значения в формулу производной произведения:

$y' = (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' = -2 \cdot (x - 6) + (-2x + 5) \cdot 1$

Раскроем скобки и упростим:

$y' = -2x + 12 - 2x + 5$

$y' = -4x + 17$

Ответ: $y' = -4x + 17$

14.25.

1) $y = \left(2\frac{1}{3}x - 1.4\right) \cdot (x + 7);$

2) $y = -(2.2x - 4.4) \cdot (x + 3.2);$

3) $y = -(2.4x + 3.6) \cdot (5 - x).$

1) Чтобы найти нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), необходимо приравнять значение функции к нулю:
$y = (2\frac{1}{3}x - 1,4) \cdot (x + 7) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
a) $2\frac{1}{3}x - 1,4 = 0$
Для решения преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а десятичную дробь в обыкновенную:
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$
Подставим полученные значения в уравнение:
$\frac{7}{3}x - \frac{7}{5} = 0$
$\frac{7}{3}x = \frac{7}{5}$
$x = \frac{7}{5} \div \frac{7}{3} = \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{5} = 0,6$
b) $x + 7 = 0$
$x = -7$
Нули функции: $x_1 = -7$, $x_2 = 0,6$.
Ответ: $-7; 0,6$.

2) Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение $y=0$:
$y = -(2,2x - 4,4) \cdot (x + 3,2) = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от знака минуса перед скобками:
$(2,2x - 4,4) \cdot (x + 3,2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
a) $2,2x - 4,4 = 0$
$2,2x = 4,4$
$x = \frac{4,4}{2,2} = 2$
b) $x + 3,2 = 0$
$x = -3,2$
Нули функции: $x_1 = -3,2$, $x_2 = 2$.
Ответ: $-3,2; 2$.

3) Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение $y=0$:
$y = -(2,4x + 3,6) \cdot (5 - x) = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$(2,4x + 3,6) \cdot (5 - x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
a) $2,4x + 3,6 = 0$
$2,4x = -3,6$
$x = \frac{-3,6}{2,4} = -\frac{36}{24}$
Сократим дробь на 12:
$x = -\frac{3}{2} = -1,5$
b) $5 - x = 0$
$x = 5$
Нули функции: $x_1 = -1,5$, $x_2 = 5$.
Ответ: $-1,5; 5$.

14.26. Найдите p и q, если точка $A(1; -2)$ является вершиной параболы:

1) $y = x^2 + px + q;$

2) $y = x^2 + 2px + q;$

3) $y = x^2 + 2px + 2q.$

Координаты вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находятся по формуле для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$. По условию, вершина параболы находится в точке $A(1; -2)$, значит, абсцисса вершины $x_0 = 1$. Также, координаты вершины должны удовлетворять уравнению параболы, поэтому мы можем подставить $x=1$ и $y=-2$ в уравнение.

1) $y = x^2 + px + q$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = p$.
Найдем абсциссу вершины, используя формулу: $x_0 = -\frac{p}{2 \cdot 1} = -\frac{p}{2}$.
Так как $x_0 = 1$, получаем уравнение: $-\frac{p}{2} = 1$, из которого следует, что $p = -2$.
Теперь подставим координаты точки $A(1; -2)$ и найденное значение $p = -2$ в исходное уравнение, чтобы найти $q$:
$-2 = 1^2 + (-2) \cdot 1 + q$
$-2 = 1 - 2 + q$
$-2 = -1 + q$
$q = -1$.
Ответ: $p = -2, q = -1$.

2) $y = x^2 + 2px + q$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = 2p$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{2p}{2 \cdot 1} = -p$.
Так как $x_0 = 1$, получаем: $-p = 1$, откуда $p = -1$.
Подставим координаты точки $A(1; -2)$ и $p = -1$ в уравнение, чтобы найти $q$:
$-2 = 1^2 + 2(-1) \cdot 1 + q$
$-2 = 1 - 2 + q$
$-2 = -1 + q$
$q = -1$.
Ответ: $p = -1, q = -1$.

3) $y = x^2 + 2px + 2q$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = 2p$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{2p}{2 \cdot 1} = -p$.
Так как $x_0 = 1$, получаем: $-p = 1$, откуда $p = -1$.
Подставим координаты точки $A(1; -2)$ и $p = -1$ в уравнение, чтобы найти $q$:
$-2 = 1^2 + 2(-1) \cdot 1 + 2q$
$-2 = 1 - 2 + 2q$
$-2 = -1 + 2q$
$2q = -1$
$q = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $p = -1, q = -\frac{1}{2}$.

14.27. Найдите параметры $k$ и $m$, если точка $A(-2; -7)$ является вершиной параболы:

1) $y = kx^2 + 8x + m;$

2) $y = kx^2 - 4x + m;$

3) $y = kx^2 + 7x + m.$

Координаты вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находятся по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$. В данной задаче вершина параболы — точка A(-2; -7), значит, $x_0 = -2$ и $y_0 = -7$.

1) Для параболы $y = kx^2 + 8x + m$ коэффициенты стандартного вида равны $a = k$ и $b = 8$.
Используем формулу для абсциссы вершины $x_0$, чтобы найти параметр $k$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow -2 = -\frac{8}{2k}$
$-2 = -\frac{4}{k}$
Умножим обе части на $-k$:
$2k = 4$
$k = 2$
Так как точка A(-2; -7) принадлежит параболе, ее координаты удовлетворяют уравнению. Подставим значения $x = -2$, $y = -7$ и найденный $k = 2$ в уравнение параболы, чтобы найти $m$:
$-7 = 2 \cdot (-2)^2 + 8 \cdot (-2) + m$
$-7 = 2 \cdot 4 - 16 + m$
$-7 = 8 - 16 + m$
$-7 = -8 + m$
$m = -7 + 8 = 1$
Ответ: $k = 2$, $m = 1$.

2) Для параболы $y = kx^2 - 4x + m$ коэффициенты равны $a = k$ и $b = -4$.
Найдем параметр $k$ из формулы для абсциссы вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow -2 = -\frac{-4}{2k}$
$-2 = \frac{4}{2k}$
$-2 = \frac{2}{k}$
Умножим обе части на $k$:
$-2k = 2$
$k = -1$
Теперь подставим координаты точки A(-2; -7) и $k = -1$ в уравнение параболы для нахождения $m$:
$-7 = (-1) \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + m$
$-7 = -1 \cdot 4 + 8 + m$
$-7 = -4 + 8 + m$
$-7 = 4 + m$
$m = -7 - 4 = -11$
Ответ: $k = -1$, $m = -11$.

3) Для параболы $y = kx^2 + 7x + m$ коэффициенты равны $a = k$ и $b = 7$.
Найдем параметр $k$ из формулы для абсциссы вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow -2 = -\frac{7}{2k}$
Умножим обе части на $2k$:
$-4k = -7$
$k = \frac{7}{4}$
Подставим координаты точки A(-2; -7) и $k = \frac{7}{4}$ в уравнение параболы, чтобы найти $m$:
$-7 = \frac{7}{4} \cdot (-2)^2 + 7 \cdot (-2) + m$
$-7 = \frac{7}{4} \cdot 4 - 14 + m$
$-7 = 7 - 14 + m$
$-7 = -7 + m$
$m = 0$
Ответ: $k = \frac{7}{4}$, $m = 0$.

Постройте графики функций (14.28—14.30):

14.28. 1) $y = (x^2 + 1)^2 - (x^2 - 2)^2;$

2) $y = (x^2 - 2)^2 - (3 - x^2);$

3) $y = (1 - x^2) - (x^2 - 3)^2.$

1) $y = (x^2 + 1)^2 - (x^2 - 2)^2$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x^2 + 1$ и $b = x^2 - 2$.

Найдем $a - b$ и $a + b$:

$a - b = (x^2 + 1) - (x^2 - 2) = x^2 + 1 - x^2 + 2 = 3$

$a + b = (x^2 + 1) + (x^2 - 2) = x^2 + 1 + x^2 - 2 = 2x^2 - 1$

Теперь перемножим полученные выражения:

$y = (a - b)(a + b) = 3(2x^2 - 1) = 6x^2 - 3$

Таким образом, мы получили функцию $y = 6x^2 - 3$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($6 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$. Ось симметрии — ось Oy. Найдем точки пересечения с осью Ox, приравняв y к нулю: $6x^2 - 3 = 0 \Rightarrow 6x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1/2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{1/2} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: График функции $y = 6x^2 - 3$ — парабола с вершиной в точке $(0; -3)$ и ветвями, направленными вверх.

2) $y = (x^2 - 2)^2 - (3 - x^2)^2$

Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = x^2 - 2$ и $b = 3 - x^2$.

$a - b = (x^2 - 2) - (3 - x^2) = x^2 - 2 - 3 + x^2 = 2x^2 - 5$

$a + b = (x^2 - 2) + (3 - x^2) = x^2 - 2 + 3 - x^2 = 1$

Таким образом, $y = (2x^2 - 5) \cdot 1 = 2x^2 - 5$.

Функция $y = 2x^2 - 5$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число). Вершина параболы находится в точке $(0; -5)$. Ось симметрии — ось Oy. Точки пересечения с осью Ox: $2x^2 - 5 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 5 \Rightarrow x^2 = 5/2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5/2} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 5$ — парабола с вершиной в точке $(0; -5)$ и ветвями, направленными вверх.

3) $y = (1 - x^2)^2 - (x^2 - 3)^2$

Используем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 1 - x^2$ и $b = x^2 - 3$.

$a - b = (1 - x^2) - (x^2 - 3) = 1 - x^2 - x^2 + 3 = 4 - 2x^2$

$a + b = (1 - x^2) + (x^2 - 3) = 1 - 3 = -2$

Тогда $y = (4 - 2x^2)(-2) = -8 + 4x^2 = 4x^2 - 8$.

Получили квадратичную функцию $y = 4x^2 - 8$. График — парабола с ветвями вверх (так как $4 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(0; -8)$. Ось симметрии — ось Oy. Найдем точки пересечения с осью Ox: $4x^2 - 8 = 0 \Rightarrow 4x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$.

Ответ: График функции $y = 4x^2 - 8$ — парабола с вершиной в точке $(0; -8)$ и ветвями, направленными вверх.

14.29.

1) $y = (x + 1)^3 - (x + 2)^3;$

2) $y = (x - 1)^3 - (x - 2)^3;$

3) $y = (x - 1)^2(x - 2) - (x - 2)^2(x - 1).$

1) Раскроем кубы, используя формулу куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
Для первого слагаемого $(x+1)^3$ имеем: $a=x$, $b=1$.
$(x+1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.
Для второго слагаемого $(x+2)^3$ имеем: $a=x$, $b=2$.
$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$y = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 + 6x^2 + 12x + 8)$
$y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 - 6x^2 - 12x - 8$
Приведем подобные слагаемые:
$y = (x^3 - x^3) + (3x^2 - 6x^2) + (3x - 12x) + (1 - 8)$
$y = -3x^2 - 9x - 7$
Ответ: $y = -3x^2 - 9x - 7$.

2) Раскроем кубы, используя формулу куба разности $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
Для первого слагаемого $(x-1)^3$ имеем: $a=x$, $b=1$.
$(x-1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.
Для второго слагаемого $(x-2)^3$ имеем: $a=x$, $b=2$.
$(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$y = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8)$
$y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8$
Приведем подобные слагаемые:
$y = (x^3 - x^3) + (-3x^2 + 6x^2) + (3x - 12x) + (-1 + 8)$
$y = 3x^2 - 9x + 7$
Ответ: $y = 3x^2 - 9x + 7$.

3) Упростим выражение, вынеся общий множитель за скобки. Общим множителем является $(x-1)(x-2)$.
$y = (x - 1)^2(x - 2) - (x - 2)^2(x - 1) = (x-1)(x-2) \cdot [(x-1) - (x-2)]$
Упростим выражение в квадратных скобках:
$(x-1) - (x-2) = x - 1 - x + 2 = 1$
Подставим результат обратно в выражение:
$y = (x-1)(x-2) \cdot 1$
Теперь раскроем скобки в оставшемся произведении:
$y = x \cdot x + x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^2 - 2x - x + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$y = x^2 - 3x + 2$
Ответ: $y = x^2 - 3x + 2$.

14.30.

1) $y = x(x - 1)(x + 1) - x(x + 1)(x + 2);$

2) $y = x(x - 2)(x + 3) - x(x + 2)(x - 4).$

1) Чтобы упростить данное выражение $y = x(x - 1)(x + 1) - x(x + 1)(x + 2)$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Сначала упростим первое слагаемое $x(x - 1)(x + 1)$. Выражение $(x - 1)(x + 1)$ является формулой разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Теперь умножим результат на $x$:
$x(x^2 - 1) = x^3 - x$.
Далее упростим второе слагаемое $x(x + 1)(x + 2)$. Сначала перемножим скобки $(x + 1)$ и $(x + 2)$:
$(x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$.
Теперь умножим результат на $x$:
$x(x^2 + 3x + 2) = x^3 + 3x^2 + 2x$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:
$y = (x^3 - x) - (x^3 + 3x^2 + 2x)$.
Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:
$y = x^3 - x - x^3 - 3x^2 - 2x$.
Приведем подобные слагаемые:
$y = (x^3 - x^3) - 3x^2 + (-x - 2x) = 0 - 3x^2 - 3x = -3x^2 - 3x$.
Ответ: $y = -3x^2 - 3x$.

2) Упростим выражение $y = x(x - 2)(x + 3) - x(x + 2)(x - 4)$. Так же, как и в первом пункте, раскроем скобки и приведем подобные.
Упростим первое слагаемое $x(x - 2)(x + 3)$. Перемножим скобки $(x - 2)$ и $(x + 3)$:
$(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$.
Умножим результат на $x$:
$x(x^2 + x - 6) = x^3 + x^2 - 6x$.
Теперь упростим второе слагаемое $x(x + 2)(x - 4)$. Перемножим скобки $(x + 2)$ и $(x - 4)$:
$(x + 2)(x - 4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$.
Умножим результат на $x$:
$x(x^2 - 2x - 8) = x^3 - 2x^2 - 8x$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$y = (x^3 + x^2 - 6x) - (x^3 - 2x^2 - 8x)$.
Раскроем скобки, меняя знаки во втором выражении на противоположные:
$y = x^3 + x^2 - 6x - x^3 + 2x^2 + 8x$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$y = (x^3 - x^3) + (x^2 + 2x^2) + (-6x + 8x) = 0 + 3x^2 + 2x = 3x^2 + 2x$.
Ответ: $y = 3x^2 + 2x$.

14.31. Запишите (если существует) уравнение параболы, проходящей через точки:

1) $A(-1; 0)$, $B(1; 0)$, $C(0; 4)$;
2) $A(-2; 0)$, $B(2; 0)$, $C(0; 6)$;
3) $A(-4; 0)$, $B(2; 0)$, $C(0; -3)$;
4) $A(1; 0)$, $B(6; 0)$, $C(0; -4)$.

1)

Общий вид уравнения параболы с вертикальной осью симметрии: $y = ax^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты $a, b$ и $c$, подставим координаты заданных точек A(-1; 0), B(1; 0) и C(0; 4) в это уравнение.

Для точки A(-1; 0): $0 = a(-1)^2 + b(-1) + c \Rightarrow a - b + c = 0$.

Для точки B(1; 0): $0 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow a + b + c = 0$.

Для точки C(0; 4): $4 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 4$.

В результате мы получаем систему из трех линейных уравнений:

$ \begin{cases} a - b + c = 0 \\ a + b + c = 0 \\ c = 4 \end{cases} $

Подставим значение $c = 4$ в первые два уравнения системы:

$ \begin{cases} a - b + 4 = 0 \\ a + b + 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a - b = -4 \\ a + b = -4 \end{cases} $

Сложим два полученных уравнения: $(a - b) + (a + b) = -4 + (-4)$, что приводит к $2a = -8$, и отсюда $a = -4$.

Теперь подставим значение $a = -4$ в уравнение $a + b = -4$: $-4 + b = -4$, откуда $b = 0$.

Мы нашли все коэффициенты: $a = -4$, $b = 0$, $c = 4$. Следовательно, искомое уравнение параболы:

$y = -4x^2 + 0x + 4$

Ответ: $y = -4x^2 + 4$.

2)

Аналогично предыдущему пункту, ищем уравнение параболы в виде $y = ax^2 + bx + c$. Подставим координаты точек A(-2; 0), B(2; 0) и C(0; 6).

Для точки A(-2; 0): $0 = a(-2)^2 + b(-2) + c \Rightarrow 4a - 2b + c = 0$.

Для точки B(2; 0): $0 = a(2)^2 + b(2) + c \Rightarrow 4a + 2b + c = 0$.

Для точки C(0; 6): $6 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 6$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 4a - 2b + c = 0 \\ 4a + 2b + c = 0 \\ c = 6 \end{cases} $

Подставим $c = 6$ в первые два уравнения:

$ \begin{cases} 4a - 2b + 6 = 0 \\ 4a + 2b + 6 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a - b = -3 \\ 2a + b = -3 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения: $(2a - b) + (2a + b) = -3 + (-3)$, получим $4a = -6$, откуда $a = -6/4 = -3/2$.

Подставим $a = -3/2$ в уравнение $2a + b = -3$: $2(-3/2) + b = -3 \Rightarrow -3 + b = -3$, откуда $b = 0$.

Коэффициенты параболы: $a = -3/2$, $b = 0$, $c = 6$. Искомое уравнение:

Ответ: $y = -\frac{3}{2}x^2 + 6$.

3)

В этом случае точки A(-4; 0) и B(2; 0) являются точками пересечения параболы с осью Ox, то есть их абсциссы являются корнями квадратного трехчлена. Это позволяет использовать уравнение параболы в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни.

Подставим значения корней $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$:

$y = a(x - (-4))(x - 2) \Rightarrow y = a(x + 4)(x - 2)$.

Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся координатами третьей точки C(0; -3). Подставим $x=0$ и $y=-3$ в уравнение:

$-3 = a(0 + 4)(0 - 2)$

$-3 = a(4)(-2)$

$-3 = -8a$

$a = \frac{3}{8}$.

Теперь, когда $a$ известно, запишем уравнение параболы: $y = \frac{3}{8}(x + 4)(x - 2)$.

Для получения стандартного вида $y = ax^2 + bx + c$, раскроем скобки:

$y = \frac{3}{8}(x^2 - 2x + 4x - 8) = \frac{3}{8}(x^2 + 2x - 8)$.

$y = \frac{3}{8}x^2 + \frac{6}{8}x - \frac{24}{8} = \frac{3}{8}x^2 + \frac{3}{4}x - 3$.

Ответ: $y = \frac{3}{8}x^2 + \frac{3}{4}x - 3$.

4)

Как и в предыдущем задании, точки A(1; 0) и B(6; 0) являются корнями, так как их ординаты равны нулю. Используем уравнение параболы в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Подставим значения корней $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$:

$y = a(x - 1)(x - 6)$.

Для нахождения коэффициента $a$ используем координаты точки C(0; -4). Подставим $x=0$ и $y=-4$:

$-4 = a(0 - 1)(0 - 6)$

$-4 = a(-1)(-6)$

$-4 = 6a$

$a = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Полученное уравнение параболы: $y = -\frac{2}{3}(x - 1)(x - 6)$.

Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$ путем раскрытия скобок:

$y = -\frac{2}{3}(x^2 - 6x - x + 6) = -\frac{2}{3}(x^2 - 7x + 6)$.

$y = -\frac{2}{3}x^2 + (-\frac{2}{3})(-7x) + (-\frac{2}{3})(6) = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{14}{3}x - 4$.

Ответ: $y = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{14}{3}x - 4$.

14.32. Запишите уравнение параболы, проходящей через точки А и В, если точка А является вершиной параболы:

1) A $ (-4; 0) $, B $ (2; 36) $;

2) A $ (2; 0) $, B $ (-4; 36) $;

3) A $ (3; -4) $, B $ (0; 12) $;

4) A $ (-0,5; -10) $, B $ (6; 10) $.

1)Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_v; y_v)$ имеет вид $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.
По условию, вершина параболы — точка A $(-4; 0)$, значит, $x_v = -4$ и $y_v = 0$. Уравнение принимает вид:
$y = a(x - (-4))^2 + 0$
$y = a(x + 4)^2$
Парабола проходит через точку B $(2; 36)$. Подставим её координаты в уравнение, чтобы найти коэффициент $a$:
$36 = a(2 + 4)^2$
$36 = a \cdot 6^2$
$36 = 36a$
$a = 1$
Искомое уравнение параболы: $y = (x + 4)^2$.
Ответ: $y = (x + 4)^2$.

2)Вершина параболы — точка A $(2; 0)$, значит, $x_v = 2$ и $y_v = 0$. Уравнение имеет вид:
$y = a(x - 2)^2 + 0$
$y = a(x - 2)^2$
Парабола проходит через точку B $(-4; 36)$. Подставляем её координаты в уравнение:
$36 = a(-4 - 2)^2$
$36 = a \cdot (-6)^2$
$36 = 36a$
$a = 1$
Искомое уравнение параболы: $y = (x - 2)^2$.
Ответ: $y = (x - 2)^2$.

3)Вершина параболы — точка A $(3; -4)$, значит, $x_v = 3$ и $y_v = -4$. Уравнение имеет вид:
$y = a(x - 3)^2 - 4$
Парабола проходит через точку B $(0; 12)$. Подставляем её координаты в уравнение:
$12 = a(0 - 3)^2 - 4$
$12 = a \cdot (-3)^2 - 4$
$12 = 9a - 4$
$16 = 9a$
$a = \frac{16}{9}$
Искомое уравнение параболы: $y = \frac{16}{9}(x - 3)^2 - 4$.
Ответ: $y = \frac{16}{9}(x - 3)^2 - 4$.

4)Вершина параболы — точка A $(-0,5; -10)$, значит, $x_v = -0,5$ и $y_v = -10$. Уравнение имеет вид:
$y = a(x - (-0,5))^2 - 10$
$y = a(x + 0,5)^2 - 10$
Парабола проходит через точку B $(6; 10)$. Подставляем её координаты в уравнение:
$10 = a(6 + 0,5)^2 - 10$
$10 = a \cdot (6,5)^2 - 10$
$20 = a \cdot 42,25$
$a = \frac{20}{42,25} = \frac{20}{169/4} = \frac{20 \cdot 4}{169} = \frac{80}{169}$
Искомое уравнение параболы: $y = \frac{80}{169}(x + 0,5)^2 - 10$.
Ответ: $y = \frac{80}{169}(x + 0,5)^2 - 10$.