Номер 14.27, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.27. Найдите параметры $k$ и $m$, если точка $A(-2; -7)$ является вершиной параболы:

1) $y = kx^2 + 8x + m;$

2) $y = kx^2 - 4x + m;$

3) $y = kx^2 + 7x + m.$

Координаты вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находятся по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$. В данной задаче вершина параболы — точка A(-2; -7), значит, $x_0 = -2$ и $y_0 = -7$.

1) Для параболы $y = kx^2 + 8x + m$ коэффициенты стандартного вида равны $a = k$ и $b = 8$.
Используем формулу для абсциссы вершины $x_0$, чтобы найти параметр $k$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow -2 = -\frac{8}{2k}$
$-2 = -\frac{4}{k}$
Умножим обе части на $-k$:
$2k = 4$
$k = 2$
Так как точка A(-2; -7) принадлежит параболе, ее координаты удовлетворяют уравнению. Подставим значения $x = -2$, $y = -7$ и найденный $k = 2$ в уравнение параболы, чтобы найти $m$:
$-7 = 2 \cdot (-2)^2 + 8 \cdot (-2) + m$
$-7 = 2 \cdot 4 - 16 + m$
$-7 = 8 - 16 + m$
$-7 = -8 + m$
$m = -7 + 8 = 1$
Ответ: $k = 2$, $m = 1$.

2) Для параболы $y = kx^2 - 4x + m$ коэффициенты равны $a = k$ и $b = -4$.
Найдем параметр $k$ из формулы для абсциссы вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow -2 = -\frac{-4}{2k}$
$-2 = \frac{4}{2k}$
$-2 = \frac{2}{k}$
Умножим обе части на $k$:
$-2k = 2$
$k = -1$
Теперь подставим координаты точки A(-2; -7) и $k = -1$ в уравнение параболы для нахождения $m$:
$-7 = (-1) \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + m$
$-7 = -1 \cdot 4 + 8 + m$
$-7 = -4 + 8 + m$
$-7 = 4 + m$
$m = -7 - 4 = -11$
Ответ: $k = -1$, $m = -11$.

3) Для параболы $y = kx^2 + 7x + m$ коэффициенты равны $a = k$ и $b = 7$.
Найдем параметр $k$ из формулы для абсциссы вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} \Rightarrow -2 = -\frac{7}{2k}$
Умножим обе части на $2k$:
$-4k = -7$
$k = \frac{7}{4}$
Подставим координаты точки A(-2; -7) и $k = \frac{7}{4}$ в уравнение параболы, чтобы найти $m$:
$-7 = \frac{7}{4} \cdot (-2)^2 + 7 \cdot (-2) + m$
$-7 = \frac{7}{4} \cdot 4 - 14 + m$
$-7 = 7 - 14 + m$
$-7 = -7 + m$
$m = 0$
Ответ: $k = \frac{7}{4}$, $m = 0$.