Номер 14.32, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.32. Запишите уравнение параболы, проходящей через точки А и В, если точка А является вершиной параболы:

1) A $ (-4; 0) $, B $ (2; 36) $;

2) A $ (2; 0) $, B $ (-4; 36) $;

3) A $ (3; -4) $, B $ (0; 12) $;

4) A $ (-0,5; -10) $, B $ (6; 10) $.

1)Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_v; y_v)$ имеет вид $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.
По условию, вершина параболы — точка A $(-4; 0)$, значит, $x_v = -4$ и $y_v = 0$. Уравнение принимает вид:
$y = a(x - (-4))^2 + 0$
$y = a(x + 4)^2$
Парабола проходит через точку B $(2; 36)$. Подставим её координаты в уравнение, чтобы найти коэффициент $a$:
$36 = a(2 + 4)^2$
$36 = a \cdot 6^2$
$36 = 36a$
$a = 1$
Искомое уравнение параболы: $y = (x + 4)^2$.
Ответ: $y = (x + 4)^2$.

2)Вершина параболы — точка A $(2; 0)$, значит, $x_v = 2$ и $y_v = 0$. Уравнение имеет вид:
$y = a(x - 2)^2 + 0$
$y = a(x - 2)^2$
Парабола проходит через точку B $(-4; 36)$. Подставляем её координаты в уравнение:
$36 = a(-4 - 2)^2$
$36 = a \cdot (-6)^2$
$36 = 36a$
$a = 1$
Искомое уравнение параболы: $y = (x - 2)^2$.
Ответ: $y = (x - 2)^2$.

3)Вершина параболы — точка A $(3; -4)$, значит, $x_v = 3$ и $y_v = -4$. Уравнение имеет вид:
$y = a(x - 3)^2 - 4$
Парабола проходит через точку B $(0; 12)$. Подставляем её координаты в уравнение:
$12 = a(0 - 3)^2 - 4$
$12 = a \cdot (-3)^2 - 4$
$12 = 9a - 4$
$16 = 9a$
$a = \frac{16}{9}$
Искомое уравнение параболы: $y = \frac{16}{9}(x - 3)^2 - 4$.
Ответ: $y = \frac{16}{9}(x - 3)^2 - 4$.

4)Вершина параболы — точка A $(-0,5; -10)$, значит, $x_v = -0,5$ и $y_v = -10$. Уравнение имеет вид:
$y = a(x - (-0,5))^2 - 10$
$y = a(x + 0,5)^2 - 10$
Парабола проходит через точку B $(6; 10)$. Подставляем её координаты в уравнение:
$10 = a(6 + 0,5)^2 - 10$
$10 = a \cdot (6,5)^2 - 10$
$20 = a \cdot 42,25$
$a = \frac{20}{42,25} = \frac{20}{169/4} = \frac{20 \cdot 4}{169} = \frac{80}{169}$
Искомое уравнение параболы: $y = \frac{80}{169}(x + 0,5)^2 - 10$.
Ответ: $y = \frac{80}{169}(x + 0,5)^2 - 10$.