Номер 14.39, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.39. Для функции $y = ax^2 - bx + c$, график которой изображен на рисунке 20, найдите знаки коэффициентов $a, b, c$ и $D$, где $D = b^2 - 4ac$.

1)

2)

3)

4)

Рис. 20

Для определения знаков коэффициентов и дискриминанта квадратичной функции $y = ax^2 - bx + c$ проанализируем её график.

1. Знак коэффициента a определяется направлением ветвей параболы. На данном графике ветви направлены вниз, следовательно, $a < 0$.

2. Знак коэффициента c определяется точкой пересечения графика с осью $y$. График пересекает ось $y$ при $x=0$, тогда $y(0) = c$. Поскольку точка пересечения находится выше оси $x$, её ордината положительна, значит $c > 0$.

3. Знак коэффициента b связан с абсциссой вершины параболы $x_v$. Формула для абсциссы вершины в данном уравнении: $x_v = -(-b) / (2a) = b / (2a)$. Вершина параболы находится в левой полуплоскости, то есть $x_v < 0$. Так как $a < 0$, для того чтобы дробь $b / (2a)$ была отрицательной, необходимо, чтобы $b$ был положительным, то есть $b > 0$.

4. Знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ определяется количеством точек пересечения параболы с осью $x$. График пересекает ось $x$ в двух различных точках, значит, квадратное уравнение $ax^2 - bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Следовательно, $D > 0$.

Ответ: $a < 0$, $b > 0$, $c > 0$, $D > 0$.

1. Знак a: ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Знак c: график пересекает ось $y$ выше оси $x$, значит, $y(0) = c > 0$.

3. Знак b: абсцисса вершины $x_v = b / (2a)$. Вершина находится в левой полуплоскости, поэтому $x_v < 0$. Так как $a > 0$, для отрицательности дроби необходимо, чтобы $b < 0$.

4. Знак $D$: парабола не пересекает ось $x$, поэтому квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, $D = b^2 - 4ac < 0$.

Ответ: $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$, $D < 0$.

1. Знак a: ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Знак c: график пересекает ось $y$ ниже оси $x$, значит, $y(0) = c < 0$.

3. Знак b: абсцисса вершины $x_v = b / (2a)$. Вершина находится в правой полуплоскости, поэтому $x_v > 0$. Так как $a > 0$, для положительности дроби необходимо, чтобы $b > 0$.

4. Знак $D$: парабола пересекает ось $x$ в двух различных точках, следовательно, $D = b^2 - 4ac > 0$.

Ответ: $a > 0$, $b > 0$, $c < 0$, $D > 0$.

1. Знак a: ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Знак c: график пересекает ось $y$ выше оси $x$, значит, $y(0) = c > 0$.

3. Знак b: абсцисса вершины $x_v = b / (2a)$. Вершина находится в левой полуплоскости, поэтому $x_v < 0$. Так как $a > 0$, для отрицательности дроби необходимо, чтобы $b < 0$.

4. Знак $D$: парабола касается оси $x$ в одной точке (вершине), значит, квадратное уравнение имеет один действительный корень. Следовательно, $D = b^2 - 4ac = 0$.

Ответ: $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$, $D = 0$.