Номер 14.43, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.43. Составьте текстовую задачу и решите ее, используя математическую модель:

1) $n = 4 - 0,3x(x + 5)$;

2) $\frac{1}{12} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 8}$.

1)

Текстовая задача: Прибыль предприятия `n` (в миллионах условных единиц) от производства `x` тысяч единиц продукции описывается моделью $n = 4 - 0,3x(x + 5)$. При каком объеме производства `x` предприятие достигнет точки безубыточности (то есть, его прибыль будет равна нулю)?

Решение: Чтобы найти точку безубыточности, необходимо приравнять прибыль `n` к нулю и решить полученное уравнение относительно `x`.

$0 = 4 - 0,3x(x + 5)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$0,3x(x + 5) = 4$

$0,3x^2 + 1,5x - 4 = 0$

Для удобства решения умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$3x^2 + 15x - 40 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=15$, $c=-40$. Решим его с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 225 + 480 = 705$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm \sqrt{705}}{2 \cdot 3} = \frac{-15 \pm \sqrt{705}}{6}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-15 - \sqrt{705}}{6}$ и $x_2 = \frac{-15 + \sqrt{705}}{6}$.

Поскольку `x` представляет собой объем производства, эта величина не может быть отрицательной. Корень $x_1$ является отрицательным числом. Корень $x_2$ является положительным, так как $\sqrt{705} > \sqrt{225} = 15$.

Следовательно, единственным решением, имеющим экономический смысл, является $x = \frac{-15 + \sqrt{705}}{6}$.

Ответ: предприятие достигнет точки безубыточности при объеме производства $x = \frac{\sqrt{705} - 15}{6}$ тысяч единиц продукции.

2)

Текстовая задача: Два насоса, работая вместе, наполняют бассейн за 12 часов. Известно, что первый насос, работая один, может наполнить бассейн на 8 часов быстрее, чем второй. За сколько часов каждый насос наполнит бассейн, работая в одиночку?

Решение: Пусть $x$ часов – время, за которое первый (более быстрый) насос наполняет бассейн.

Тогда второй насос наполняет бассейн за $(x + 8)$ часов.

Производительность первого насоса равна $\frac{1}{x}$ (часть бассейна в час), а второго – $\frac{1}{x+8}$ (часть бассейна в час).

Работая вместе, их общая производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+8}$.

По условию, вместе они наполняют бассейн за 12 часов, значит, их общая производительность равна $\frac{1}{12}$.

Составим математическую модель (уравнение):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю. Область допустимых значений $x > 0$.

$\frac{x+8+x}{x(x+8)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2x+8}{x^2+8x} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$12(2x+8) = x^2+8x$

$24x + 96 = x^2 + 8x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 16x - 96 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 256 + 384 = 640$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{640}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm \sqrt{64 \cdot 10}}{2} = \frac{16 \pm 8\sqrt{10}}{2} = 8 \pm 4\sqrt{10}$

Получаем два корня: $x_1 = 8 + 4\sqrt{10}$ и $x_2 = 8 - 4\sqrt{10}$.

Поскольку время $x$ не может быть отрицательным, проверим знаки корней. $4\sqrt{10} = \sqrt{160}$, а $8 = \sqrt{64}$, поэтому $8 - 4\sqrt{10} < 0$. Этот корень не подходит по смыслу задачи.

Единственное подходящее решение: $x = 8 + 4\sqrt{10}$ часов. Это время работы первого насоса.

Время работы второго насоса: $x + 8 = (8 + 4\sqrt{10}) + 8 = 16 + 4\sqrt{10}$ часов.

Ответ: первый насос наполнит бассейн за $(8 + 4\sqrt{10})$ часов, а второй – за $(16 + 4\sqrt{10})$ часов.