Номер 14.38, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.38. Постройте график функции:

1) $y = 2x^2 - x + a$, если известно, что:

a) ее наименьшее значение равно 2;

б) ее наименьшее значение равно -4;

2) $y = -x^2 + 2x + a$, если известно, что:

a) ее наибольшее значение равно 6;

б) ее наибольшее значение равно -2.

1) Для функции $y = 2x^2 - x + a$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находятся по формуле $x_v = -B / (2A)$. Наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_v = y(x_v)$.

Для данной функции $A=2$, $B=-1$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_v = -(-1) / (2 \cdot 2) = 1/4$

Найдем ординату вершины, подставив $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = 2(1/4)^2 - (1/4) + a = 2(1/16) - 1/4 + a = 1/8 - 2/8 + a = a - 1/8$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $a - 1/8$.

а) ее наименьшее значение равно 2;

Используем условие, что наименьшее значение равно 2:

$y_v = a - 1/8 = 2$

Отсюда находим параметр $a$:

$a = 2 + 1/8 = 16/8 + 1/8 = 17/8$

Уравнение функции принимает вид: $y = 2x^2 - x + 17/8$. Вершина параболы находится в точке $(1/4, 2)$.

График функции:

Ответ: Уравнение функции $y = 2x^2 - x + 17/8$. График — парабола с вершиной в точке $(1/4, 2)$.

б) ее наименьшее значение равно -4;

Используем условие, что наименьшее значение равно -4:

$y_v = a - 1/8 = -4$

Отсюда находим параметр $a$:

$a = -4 + 1/8 = -32/8 + 1/8 = -31/8$

Уравнение функции принимает вид: $y = 2x^2 - x - 31/8$. Вершина параболы находится в точке $(1/4, -4)$.

График функции:

Ответ: Уравнение функции $y = 2x^2 - x - 31/8$. График — парабола с вершиной в точке $(1/4, -4)$.

2) Для функции $y = -x^2 + 2x + a$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Для данной функции $A=-1$, $B=2$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_v = -2 / (2 \cdot (-1)) = -2 / (-2) = 1$

Найдем ординату вершины, подставив $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = -(1)^2 + 2(1) + a = -1 + 2 + a = a + 1$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $a + 1$.

а) ее наибольшее значение равно 6;

Используем условие, что наибольшее значение равно 6:

$y_v = a + 1 = 6$

Отсюда находим параметр $a$:

$a = 6 - 1 = 5$

Уравнение функции принимает вид: $y = -x^2 + 2x + 5$. Вершина параболы находится в точке $(1, 6)$.

График функции:

Ответ: Уравнение функции $y = -x^2 + 2x + 5$. График — парабола с вершиной в точке $(1, 6)$.

б) ее наибольшее значение равно -2.

Используем условие, что наибольшее значение равно -2:

$y_v = a + 1 = -2$

Отсюда находим параметр $a$:

$a = -2 - 1 = -3$

Уравнение функции принимает вид: $y = -x^2 + 2x - 3$. Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$.

График функции:

Ответ: Уравнение функции $y = -x^2 + 2x - 3$. График — парабола с вершиной в точке $(1, -2)$.