Номер 14.37, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.37. Постройте график функции $y = 2x^2 - (a - 3)x + 3$, если известно, что прямая:

1) $x = -2$ является ее осью симметрии;

2) $x = 3$ является ее осью симметрии.

Данная функция $y = 2x^2 - (a - 3)x + 3$ является квадратичной, ее график — парабола. Уравнение оси симметрии параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A = 2$, $B = -(a - 3) = 3 - a$, $C = 3$.

Тогда уравнение оси симметрии: $x_0 = -\frac{3 - a}{2 \cdot 2} = \frac{a - 3}{4}$.

1) $x = -2$ является ее осью симметрии;

Приравняем формулу для оси симметрии к заданному значению $x = -2$ и найдем параметр $a$.

$\frac{a - 3}{4} = -2$

$a - 3 = -8$

$a = -5$

Подставим найденное значение $a = -5$ в исходное уравнение функции:

$y = 2x^2 - (-5 - 3)x + 3 = 2x^2 + 8x + 3$.

Для построения графика найдем координаты вершины и несколько ключевых точек.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. По условию $x_0 = -2$.

$y_0 = 2(-2)^2 + 8(-2) + 3 = 2 \cdot 4 - 16 + 3 = -5$.

Вершина находится в точке $(-2, -5)$.

Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $y = 3$. Точка $(0, 3)$.

Так как $x=-2$ — ось симметрии, то точке $(0, 3)$ симметрична точка $(-4, 3)$.

Возьмем еще одну точку, например, при $x=-1$: $y = 2(-1)^2 + 8(-1) + 3 = -3$. Точка $(-1, -3)$. Симметричная ей точка: $(-3, -3)$.

По этим точкам строим график функции $y = 2x^2 + 8x + 3$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 + 8x + 3$ построен на рисунке выше.

2) $x = 3$ является ее осью симметрии.

Приравняем формулу для оси симметрии к заданному значению $x = 3$ и найдем параметр $a$.

$\frac{a - 3}{4} = 3$

$a - 3 = 12$

$a = 15$

Подставим найденное значение $a = 15$ в исходное уравнение функции:

$y = 2x^2 - (15 - 3)x + 3 = 2x^2 - 12x + 3$.

Для построения графика найдем координаты вершины и несколько ключевых точек.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. По условию $x_0 = 3$.

$y_0 = 2(3)^2 - 12(3) + 3 = 2 \cdot 9 - 36 + 3 = -15$.

Вершина находится в точке $(3, -15)$.

Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $y = 3$. Точка $(0, 3)$.

Так как $x=3$ — ось симметрии, то точке $(0, 3)$ симметрична точка $(6, 3)$.

Возьмем еще одну точку, например, при $x=1$: $y = 2(1)^2 - 12(1) + 3 = -7$. Точка $(1, -7)$. Симметричная ей точка: $(5, -7)$.

По этим точкам строим график функции $y = 2x^2 - 12x + 3$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 12x + 3$ построен на рисунке выше.