Номер 14.42, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.42. На рисунке 22 изображен график квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$. Используя график функции, выполните задания:

1) Запишите координаты вершины графика;

2) запишите уравнение оси симметрии графика функции;

3) найдите наибольшее значение функции;

4) запишите множество значений функции, если переменная $x\in[-2; 2];$

5) найдите значение выражения $2f(-4) + 5f(0) + 2f(-2) - f(4);$

6) найдите знак выражения $ab.$

Рис. 22

1) Запишите координаты вершины графика;
Вершина параболы — это ее самая высокая точка (максимум). По графику определяем ее координаты. Абсцисса (координата по оси $x$) вершины равна $-1$. Ордината (координата по оси $y$) вершины равна $4$.
Ответ: $(-1; 4)$.

2) запишите уравнение оси симметрии графика функции;
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, которая делит график на две симметричные части и проходит через вершину параболы. Уравнение такой прямой имеет вид $x=const$. Поскольку абсцисса вершины равна $-1$, то уравнение оси симметрии: $x=-1$.
Ответ: $x = -1$.

3) найдите наибольшее значение функции;
Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине. Наибольшее значение функции равно ординате вершины.
Ответ: $4$.

4) запишите множество значений функции, если переменная $x \in [-2; 2]$;
Чтобы найти множество значений функции (область значений) на заданном отрезке $x \in [-2; 2]$, нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке.
1. Находим значения функции на концах отрезка по графику: $f(-2) = 3$ и $f(2) = -5$.
2. Определяем, принадлежит ли вершина параболы данному отрезку. Абсцисса вершины $x = -1$ находится в пределах отрезка $[-2; 2]$, так как $-2 \le -1 \le 2$.
3. Наибольшее значение на отрезке равно значению в вершине, то есть $f_{наиб} = 4$.
4. Наименьшее значение на отрезке выбирается из значений на концах отрезка: $f_{наим} = \min(f(-2), f(2)) = \min(3, -5) = -5$.
Следовательно, множество значений функции на данном отрезке — это все значения от $-5$ до $4$ включительно.
Ответ: $[-5; 4]$.

5) найдите значение выражения $2f(-4) + 5f(0) + 2f(-2) - f(4)$;
Сначала найдем значения функции в указанных точках. Большинство из них можно найти по графику: $f(-4)=-5$, $f(0)=3$, $f(-2)=3$. Точка $x=4$ выходит за пределы нарисованного графика, поэтому для нахождения $f(4)$ определим формулу функции $f(x) = ax^2+bx+c$.
Используем вершинную форму параболы $f(x) = a(x-x_0)^2+y_0$. Из пункта 1, вершина $(x_0, y_0) = (-1, 4)$, значит $f(x) = a(x+1)^2+4$.
Найдем коэффициент $a$, подставив координаты любой другой точки с графика, например, $(1, 0)$:
$0 = a(1+1)^2+4 \implies 0 = 4a+4 \implies 4a = -4 \implies a = -1$.
Таким образом, формула функции: $f(x) = -(x+1)^2+4 = -x^2-2x+3$.
Теперь вычислим $f(4)$: $f(4) = -(4^2) - 2(4) + 3 = -16 - 8 + 3 = -21$.
Подставим все значения в исходное выражение:
$2f(-4) + 5f(0) + 2f(-2) - f(4) = 2(-5) + 5(3) + 2(3) - (-21) = -10 + 15 + 6 + 21 = 32$.
Ответ: $32$.

6) найдите знак выражения $ab$.
Знак коэффициента $a$ в уравнении $f(x) = ax^2+bx+c$ определяется направлением ветвей параболы. Так как ветви направлены вниз, $a < 0$.
Абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Из графика $x_0=-1$.
$-1 = -\frac{b}{2a} \implies 1 = \frac{b}{2a} \implies b=2a$.
Поскольку $a$ — отрицательное число ($a<0$), то $b$, равное удвоенному $a$, также будет отрицательным ($b<0$).
Произведение двух отрицательных чисел ($a$ и $b$) является положительным числом.
Ответ: знак выражения $ab$ — плюс (положительный).