Номер 14.40, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.40*.1) Постройте график функции $f(x) = 2x^2 - (a + 2)x + a$, если известно, что ее нули $x_1$ и $x_2$ связаны соотношением $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$.

2) Постройте график функции $f(x) = x^2 + 3x + a$, если известно, что ее нули $x_1$ и $x_2$ связаны соотношением $x_1^2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^2 = 12$.

1)

Дана функция $f(x) = 2x^2 - (a+2)x + a$. Ее нули $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $2x^2 - (a+2)x + a = 0$. По условию, нули связаны соотношением $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$.

Преобразуем это соотношение, приведя дроби к общему знаменателю: $\frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} = 3$.

Для нахождения суммы и произведения корней воспользуемся теоремой Виета для уравнения $Ax^2+Bx+C=0$: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$ $x_1 x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем случае коэффициенты: $A=2$, $B=-(a+2)$, $C=a$. Тогда: $x_1 + x_2 = -\frac{-(a+2)}{2} = \frac{a+2}{2}$ $x_1 x_2 = \frac{a}{2}$

Подставим эти выражения в преобразованное соотношение: $\frac{\frac{a+2}{2}}{\frac{a}{2}} = 3$

Решим полученное уравнение относительно $a$. Отметим, что для существования исходного соотношения необходимо, чтобы $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, что означает $x_1 x_2 \neq 0$, следовательно, $\frac{a}{2} \neq 0$, то есть $a \neq 0$. $\frac{a+2}{a} = 3$ $a+2 = 3a$ $2a = 2$ $a = 1$

Найденное значение $a=1$ удовлетворяет условию $a \neq 0$. Проверим, существуют ли при этом значении $a$ действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$: $D = B^2 - 4AC = (-(a+2))^2 - 4(2)(a) = (a+2)^2 - 8a$ При $a=1$: $D = (1+2)^2 - 8(1) = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1$. Так как $D=1>0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь, когда мы нашли $a=1$, мы можем записать уравнение функции: $f(x) = 2x^2 - (1+2)x + 1$ $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$

Для построения графика этой функции, которая является параболой, найдем ее ключевые характеристики:

• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля.
• Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$ $y_v = f(\frac{3}{4}) = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) + 1 = 2(\frac{9}{16}) - \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{1}{8} = -0.125$ Вершина находится в точке $(0.75, -0.125)$.
• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): $2x^2 - 3x + 1 = 0$ $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}$ $x_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$ $x_2 = \frac{3+1}{4} = 1$ Точки пересечения: $(0.5, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 2(0)^2 - 3(0) + 1 = 1$ Точка пересечения: $(0, 1)$.

Построим график функции $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

Ответ: При $a=1$ функция имеет вид $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. График функции — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0.75, -0.125)$ и пересекающая ось Ox в точках $(0.5, 0)$ и $(1, 0)$.

2)

Дана функция $f(x) = x^2 + 3x + a$. Ее нули $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 + 3x + a = 0$. По условию, нули связаны соотношением $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = 12$.

Преобразуем это соотношение, вынеся общий множитель $x_1 x_2$ за скобки: $x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 12$.

Для нахождения суммы и произведения корней воспользуемся теоремой Виета для уравнения $Ax^2+Bx+C=0$: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$ $x_1 x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем случае коэффициенты: $A=1$, $B=3$, $C=a$. Тогда: $x_1 + x_2 = -\frac{3}{1} = -3$ $x_1 x_2 = \frac{a}{1} = a$

Подставим эти выражения в преобразованное соотношение: $a \cdot (-3) = 12$

Решим полученное уравнение относительно $a$: $-3a = 12$ $a = -4$

Проверим, существуют ли при этом значении $a$ действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$: $D = B^2 - 4AC = 3^2 - 4(1)(a) = 9 - 4a$ При $a=-4$: $D = 9 - 4(-4) = 9 + 16 = 25$. Так как $D=25>0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь, когда мы нашли $a=-4$, мы можем записать уравнение функции: $f(x) = x^2 + 3x - 4$

Для построения графика этой функции, которая является параболой, найдем ее ключевые характеристики:

• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля.
• Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$: $x_v = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2} = -1.5$ $y_v = f(-1.5) = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$ Вершина находится в точке $(-1.5, -6.25)$.
• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 + 3x - 4 = 0$ $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$ $x_1 = \frac{-3-5}{2} = -4$ $x_2 = \frac{-3+5}{2} = 1$ Точки пересечения: $(-4, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 0^2 + 3(0) - 4 = -4$ Точка пересечения: $(0, -4)$.

Построим график функции $f(x) = x^2 + 3x - 4$.

Ответ: При $a=-4$ функция имеет вид $f(x) = x^2 + 3x - 4$. График функции — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(-1.5, -6.25)$ и пересекающая ось Ox в точках $(-4, 0)$ и $(1, 0)$.