Номер 14.46, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.46. Площадь прямоугольника равна $72 \text{ см}^2$, его периметр равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

14.46. Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника в сантиметрах.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, $S = 72 \text{ см}^2$.
Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи, $P = 36 \text{ см}$.

Составим систему уравнений на основе этих данных:
$ \begin{cases} a \cdot b = 72 \\ 2(a + b) = 36 \end{cases} $

Упростим второе уравнение системы, разделив обе части на 2:
$a + b = \frac{36}{2}$
$a + b = 18$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:
$ \begin{cases} a \cdot b = 72 \\ a + b = 18 \end{cases} $

Это система, которую можно решить методом подстановки. Выразим $a$ из второго уравнения:
$a = 18 - b$

Подставим полученное выражение для $a$ в первое уравнение:
$(18 - b) \cdot b = 72$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$18b - b^2 = 72$
$-b^2 + 18b - 72 = 0$
$b^2 - 18b + 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$b_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$b_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь найдем соответствующие значения для стороны $a$:
Если $b = 12$, то $a = 18 - 12 = 6$.
Если $b = 6$, то $a = 18 - 6 = 12$.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см.

Проверка:
Площадь: $S = 6 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 72 \text{ см}^2$. (Соответствует условию)
Периметр: $P = 2(6 \text{ см} + 12 \text{ см}) = 2 \cdot 18 \text{ см} = 36 \text{ см}$. (Соответствует условию)

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см.