Номер 14.47, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.47.

1) Площадь прямоугольного треугольника равна 180 $cm^2$. Найдите длины катетов треугольника, если один катет длиннее другого катета на 31 см.

2) Площадь прямоугольника равна 84 $cm^2$. Найдите длины сторон прямоугольника, если одна сторона короче другой на 5 см.

1)

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. По условию задачи, площадь равна $180 \text{ см}^2$, следовательно, мы можем составить уравнение: $\frac{1}{2}ab = 180$. Умножив обе части на 2, получим: $ab = 360$.

Также по условию, один катет длиннее другого на 31 см. Пусть $a$ - это длина большего катета, тогда $a = b + 31$. Подставим это выражение в наше уравнение $ab = 360$: $(b + 31) \cdot b = 360$.

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$: $b^2 + 31b = 360$ $b^2 + 31b - 360 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$: $D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 961 + 1440 = 2401$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$: $\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$. $b_1 = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$. $b_2 = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40$.

Поскольку длина катета не может быть отрицательной величиной, корень $b_2 = -40$ не подходит. Значит, длина одного катета равна 9 см. Найдем длину второго катета: $a = b + 31 = 9 + 31 = 40$ см.

Проверим: площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = \frac{360}{2} = 180 \text{ см}^2$. Условие выполняется.

Ответ: длины катетов треугольника равны 9 см и 40 см.

2)

Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = xy$. По условию задачи, площадь равна $84 \text{ см}^2$, значит, $xy = 84$.

Также известно, что одна сторона короче другой на 5 см. Пусть $x$ - это длина более короткой стороны, тогда $x = y - 5$. Подставим это выражение в уравнение площади $xy = 84$: $(y - 5) \cdot y = 84$.

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $y^2 - 5y = 84$ $y^2 - 5y - 84 = 0$.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = B^2 - 4AC$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$.

Найдем корни уравнения по формуле $y = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$: $\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$. $y_1 = \frac{-(-5) + 19}{2} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12$. $y_2 = \frac{-(-5) - 19}{2} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, корень $y_2 = -7$ не является решением задачи. Таким образом, длина одной стороны прямоугольника равна 12 см. Найдем длину второй стороны: $x = y - 5 = 12 - 5 = 7$ см.

Проверим: площадь $S = 7 \cdot 12 = 84 \text{ см}^2$. Условие выполняется.

Ответ: длины сторон прямоугольника равны 7 см и 12 см.