Номер 14.36, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.36. 1) $y = x^2 - 3x - (\sqrt{x-3})^2;$ 2) $y = x^2 - 2x - \sqrt{(x-2)^2};$

3) $y = x|x - 3| - 3x + 8;$ 4) $y = x \cdot (\sqrt{x-3})^2 - 3x + 8.$

1) Исходная функция: $y = x^2 - 3x - (\sqrt{x-3})^2$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому:

$x-3 \ge 0$

$x \ge 3$

Область определения функции (ОДЗ): $D(y) = [3, +\infty)$.

Теперь упростим уравнение функции. Для всех $x$ из области определения справедливо тождество $(\sqrt{x-3})^2 = x-3$.

$y = x^2 - 3x - (x-3)$

$y = x^2 - 3x - x + 3$

$y = x^2 - 4x + 3$

Это уравнение параболы с ветвями, направленными вверх. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ находятся по формуле $x_в = -b / (2a)$.

$x_в = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.

Значение $x_в = 2$ не входит в область определения функции $D(y) = [3, +\infty)$. Поскольку вершина находится левее, на всей своей области определения функция будет монотонно возрастать.

Найдем начальную точку графика, подставив $x=3$ в уравнение:

$y(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$.

Таким образом, график функции — это часть параболы $y = x^2 - 4x + 3$, начинающаяся в точке $(3, 0)$ и уходящая вправо и вверх.

Ответ: Функция задается уравнением $y = x^2 - 4x + 3$ при $x \ge 3$. Ее график — часть параболы с ветвями вверх, выходящая из точки $(3, 0)$.

2) Исходная функция: $y = x^2 - 2x - \sqrt{(x-2)^2}$.

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = R$), так как выражение под корнем $(x-2)^2$ всегда неотрицательно.

Упростим выражение, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$

Таким образом, функция принимает вид: $y = x^2 - 2x - |x-2|$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

В этом случае $|x-2| = x-2$.

$y = x^2 - 2x - (x-2) = x^2 - 3x + 2$.

Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_в = -(-3)/2 = 1.5$, что не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 2$. При $x=2$, $y=2^2-3 \cdot 2+2=0$.

Случай 2: $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.

В этом случае $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.

$y = x^2 - 2x - (-x+2) = x^2 - x - 2$.

Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_в = -(-1)/2 = 0.5$. $y_в = (0.5)^2 - 0.5 - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$. Вершина: $(0.5, -2.25)$.

График состоит из двух частей парабол, которые непрерывно соединяются в точке $(2, 0)$.

Ответ: Функция задается кусочно: $y = x^2 - x - 2$ при $x < 2$ и $y = x^2 - 3x + 2$ при $x \ge 2$. График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(2, 0)$, с вершиной левой части в точке $(0.5, -2.25)$.

3) Исходная функция: $y = x|x - 3| - 3x + 8$.

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = R$).

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

В этом случае $|x-3| = x-3$.

$y = x(x - 3) - 3x + 8 = x^2 - 3x - 3x + 8 = x^2 - 6x + 8$.

Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_в = -(-6)/2 = 3$. $y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. Вершина $(3, -1)$ является начальной точкой этой части графика.

Случай 2: $x-3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x-3| = -(x-3) = -x+3$.

$y = x(-x + 3) - 3x + 8 = -x^2 + 3x - 3x + 8 = -x^2 + 8$.

Это парабола с ветвями вниз. Вершина в точке $x_в = -0/(-2) = 0$. $y_в = -0^2 + 8 = 8$. Вершина: $(0, 8)$.

График состоит из двух частей парабол, которые непрерывно соединяются в точке $(3, -1)$.

Ответ: Функция задается кусочно: $y = -x^2 + 8$ при $x < 3$ и $y = x^2 - 6x + 8$ при $x \ge 3$. График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(3, -1)$.

4) Исходная функция: $y = x \cdot (\sqrt{x-3})^2 - 3x + 8$.

Область определения функции такая же, как в задании 1): $x-3 \ge 0$, то есть $D(y) = [3, +\infty)$.

Упростим выражение на этой области определения:

$y = x(x-3) - 3x + 8$

$y = x^2 - 3x - 3x + 8$

$y = x^2 - 6x + 8$

Получили уравнение параболы с ветвями вверх. Это та же парабола, что и в первом случае задания 3), но рассматриваемая на другой области определения.

Координаты вершины: $x_в = -(-6)/2 = 3$. $y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = -1$.

Вершина параболы $(3, -1)$ совпадает с начальной точкой области определения $x \ge 3$.

Следовательно, график функции — это правая ветвь параболы $y = x^2 - 6x + 8$, начинающаяся в ее вершине $(3, -1)$.

Ответ: Функция задается уравнением $y = x^2 - 6x + 8$ при $x \ge 3$. Ее график — правая ветвь параболы, начинающаяся в ее вершине $(3, -1)$.