Номер 14.31, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.31. Запишите (если существует) уравнение параболы, проходящей через точки:

1) $A(-1; 0)$, $B(1; 0)$, $C(0; 4)$;
2) $A(-2; 0)$, $B(2; 0)$, $C(0; 6)$;
3) $A(-4; 0)$, $B(2; 0)$, $C(0; -3)$;
4) $A(1; 0)$, $B(6; 0)$, $C(0; -4)$.

1)

Общий вид уравнения параболы с вертикальной осью симметрии: $y = ax^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты $a, b$ и $c$, подставим координаты заданных точек A(-1; 0), B(1; 0) и C(0; 4) в это уравнение.

Для точки A(-1; 0): $0 = a(-1)^2 + b(-1) + c \Rightarrow a - b + c = 0$.

Для точки B(1; 0): $0 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow a + b + c = 0$.

Для точки C(0; 4): $4 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 4$.

В результате мы получаем систему из трех линейных уравнений:

$ \begin{cases} a - b + c = 0 \\ a + b + c = 0 \\ c = 4 \end{cases} $

Подставим значение $c = 4$ в первые два уравнения системы:

$ \begin{cases} a - b + 4 = 0 \\ a + b + 4 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a - b = -4 \\ a + b = -4 \end{cases} $

Сложим два полученных уравнения: $(a - b) + (a + b) = -4 + (-4)$, что приводит к $2a = -8$, и отсюда $a = -4$.

Теперь подставим значение $a = -4$ в уравнение $a + b = -4$: $-4 + b = -4$, откуда $b = 0$.

Мы нашли все коэффициенты: $a = -4$, $b = 0$, $c = 4$. Следовательно, искомое уравнение параболы:

$y = -4x^2 + 0x + 4$

Ответ: $y = -4x^2 + 4$.

2)

Аналогично предыдущему пункту, ищем уравнение параболы в виде $y = ax^2 + bx + c$. Подставим координаты точек A(-2; 0), B(2; 0) и C(0; 6).

Для точки A(-2; 0): $0 = a(-2)^2 + b(-2) + c \Rightarrow 4a - 2b + c = 0$.

Для точки B(2; 0): $0 = a(2)^2 + b(2) + c \Rightarrow 4a + 2b + c = 0$.

Для точки C(0; 6): $6 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 6$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 4a - 2b + c = 0 \\ 4a + 2b + c = 0 \\ c = 6 \end{cases} $

Подставим $c = 6$ в первые два уравнения:

$ \begin{cases} 4a - 2b + 6 = 0 \\ 4a + 2b + 6 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a - b = -3 \\ 2a + b = -3 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения: $(2a - b) + (2a + b) = -3 + (-3)$, получим $4a = -6$, откуда $a = -6/4 = -3/2$.

Подставим $a = -3/2$ в уравнение $2a + b = -3$: $2(-3/2) + b = -3 \Rightarrow -3 + b = -3$, откуда $b = 0$.

Коэффициенты параболы: $a = -3/2$, $b = 0$, $c = 6$. Искомое уравнение:

Ответ: $y = -\frac{3}{2}x^2 + 6$.

3)

В этом случае точки A(-4; 0) и B(2; 0) являются точками пересечения параболы с осью Ox, то есть их абсциссы являются корнями квадратного трехчлена. Это позволяет использовать уравнение параболы в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни.

Подставим значения корней $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$:

$y = a(x - (-4))(x - 2) \Rightarrow y = a(x + 4)(x - 2)$.

Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся координатами третьей точки C(0; -3). Подставим $x=0$ и $y=-3$ в уравнение:

$-3 = a(0 + 4)(0 - 2)$

$-3 = a(4)(-2)$

$-3 = -8a$

$a = \frac{3}{8}$.

Теперь, когда $a$ известно, запишем уравнение параболы: $y = \frac{3}{8}(x + 4)(x - 2)$.

Для получения стандартного вида $y = ax^2 + bx + c$, раскроем скобки:

$y = \frac{3}{8}(x^2 - 2x + 4x - 8) = \frac{3}{8}(x^2 + 2x - 8)$.

$y = \frac{3}{8}x^2 + \frac{6}{8}x - \frac{24}{8} = \frac{3}{8}x^2 + \frac{3}{4}x - 3$.

Ответ: $y = \frac{3}{8}x^2 + \frac{3}{4}x - 3$.

4)

Как и в предыдущем задании, точки A(1; 0) и B(6; 0) являются корнями, так как их ординаты равны нулю. Используем уравнение параболы в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Подставим значения корней $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$:

$y = a(x - 1)(x - 6)$.

Для нахождения коэффициента $a$ используем координаты точки C(0; -4). Подставим $x=0$ и $y=-4$:

$-4 = a(0 - 1)(0 - 6)$

$-4 = a(-1)(-6)$

$-4 = 6a$

$a = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Полученное уравнение параболы: $y = -\frac{2}{3}(x - 1)(x - 6)$.

Приведем уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$ путем раскрытия скобок:

$y = -\frac{2}{3}(x^2 - 6x - x + 6) = -\frac{2}{3}(x^2 - 7x + 6)$.

$y = -\frac{2}{3}x^2 + (-\frac{2}{3})(-7x) + (-\frac{2}{3})(6) = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{14}{3}x - 4$.

Ответ: $y = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{14}{3}x - 4$.