Номер 14.28, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте графики функций (14.28—14.30):

14.28. 1) $y = (x^2 + 1)^2 - (x^2 - 2)^2;$

2) $y = (x^2 - 2)^2 - (3 - x^2);$

3) $y = (1 - x^2) - (x^2 - 3)^2.$

1) $y = (x^2 + 1)^2 - (x^2 - 2)^2$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x^2 + 1$ и $b = x^2 - 2$.

Найдем $a - b$ и $a + b$:

$a - b = (x^2 + 1) - (x^2 - 2) = x^2 + 1 - x^2 + 2 = 3$

$a + b = (x^2 + 1) + (x^2 - 2) = x^2 + 1 + x^2 - 2 = 2x^2 - 1$

Теперь перемножим полученные выражения:

$y = (a - b)(a + b) = 3(2x^2 - 1) = 6x^2 - 3$

Таким образом, мы получили функцию $y = 6x^2 - 3$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($6 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$. Ось симметрии — ось Oy. Найдем точки пересечения с осью Ox, приравняв y к нулю: $6x^2 - 3 = 0 \Rightarrow 6x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1/2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{1/2} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: График функции $y = 6x^2 - 3$ — парабола с вершиной в точке $(0; -3)$ и ветвями, направленными вверх.

2) $y = (x^2 - 2)^2 - (3 - x^2)^2$

Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = x^2 - 2$ и $b = 3 - x^2$.

$a - b = (x^2 - 2) - (3 - x^2) = x^2 - 2 - 3 + x^2 = 2x^2 - 5$

$a + b = (x^2 - 2) + (3 - x^2) = x^2 - 2 + 3 - x^2 = 1$

Таким образом, $y = (2x^2 - 5) \cdot 1 = 2x^2 - 5$.

Функция $y = 2x^2 - 5$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число). Вершина параболы находится в точке $(0; -5)$. Ось симметрии — ось Oy. Точки пересечения с осью Ox: $2x^2 - 5 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 5 \Rightarrow x^2 = 5/2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5/2} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 5$ — парабола с вершиной в точке $(0; -5)$ и ветвями, направленными вверх.

3) $y = (1 - x^2)^2 - (x^2 - 3)^2$

Используем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 1 - x^2$ и $b = x^2 - 3$.

$a - b = (1 - x^2) - (x^2 - 3) = 1 - x^2 - x^2 + 3 = 4 - 2x^2$

$a + b = (1 - x^2) + (x^2 - 3) = 1 - 3 = -2$

Тогда $y = (4 - 2x^2)(-2) = -8 + 4x^2 = 4x^2 - 8$.

Получили квадратичную функцию $y = 4x^2 - 8$. График — парабола с ветвями вверх (так как $4 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(0; -8)$. Ось симметрии — ось Oy. Найдем точки пересечения с осью Ox: $4x^2 - 8 = 0 \Rightarrow 4x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$.

Ответ: График функции $y = 4x^2 - 8$ — парабола с вершиной в точке $(0; -8)$ и ветвями, направленными вверх.