Номер 14.21, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите координаты вершины и ось симметрии параболы, заданной формулой, и постройте эту параболу (14.21–14.22):

14.21. 1) $f(x) = 5x^2 - 3x + 4$; 2) $f(x) = -3x^2 - 2x + 7$;

3) $f(x) = -2x^2 - 5x + 6$.

1) f(x) = 5x² - 3x + 4

Для параболы, заданной функцией $f(x) = 5x^2 - 3x + 4$, мы имеем коэффициенты $a=5$, $b=-3$, $c=4$.

Координаты вершины
Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = - \frac{b}{2a}$.
$x_v = - \frac{-3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10} = 0.3$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение параболы: $y_v = f(x_v)$.
$y_v = 5(0.3)^2 - 3(0.3) + 4 = 5(0.09) - 0.9 + 4 = 0.45 - 0.9 + 4 = 3.55$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(0.3, 3.55)$.

Ось симметрии
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_v$.
Для данной параболы ось симметрии: $x = 0.3$.

Построение графика
1. Вершина параболы: $(0.3, 3.55)$.
2. Так как коэффициент $a=5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=f(0)=4$. Точка $(0, 4)$.
4. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 9 - 80 = -71$. Так как $D < 0$, парабола не пересекает ось OX.
5. Найдем несколько дополнительных точек для построения. Возьмем точки, симметричные относительно оси симметрии $x=0.3$.
Точка, симметричная точке $(0, 4)$, — это точка $(0.6, 4)$.
При $x=1$: $y = 5(1)^2 - 3(1) + 4 = 6$. Точка $(1, 6)$.
Точка, симметричная точке $(1, 6)$, — это точка $(-0.4, 6)$.

Ответ: Координаты вершины: $(0.3, 3.55)$. Ось симметрии: $x=0.3$. График параболы представлен выше.

2) f(x) = -3x² - 2x + 7

Для параболы, заданной функцией $f(x) = -3x^2 - 2x + 7$, мы имеем коэффициенты $a=-3$, $b=-2$, $c=7$.

Координаты вершины
Абсцисса вершины: $x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{-2}{2 \cdot (-3)} = \frac{2}{-6} = - \frac{1}{3}$.
Ордината вершины: $y_v = f(- \frac{1}{3}) = -3(-\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) + 7 = -3(\frac{1}{9}) + \frac{2}{3} + 7 = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 7 = \frac{1}{3} + 7 = 7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$.
Координаты вершины: $(- \frac{1}{3}, \frac{22}{3})$ или примерно $(-0.33, 7.33)$.

Ось симметрии
Уравнение оси симметрии: $x = - \frac{1}{3}$.

Построение графика
1. Вершина параболы: $(- \frac{1}{3}, \frac{22}{3})$.
2. Так как коэффициент $a=-3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=f(0)=7$. Точка $(0, 7)$.
4. Точки пересечения с осью OX: решим уравнение $-3x^2 - 2x + 7 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(-3)(7) = 4 + 84 = 88$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{-6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{-6} = \frac{-1 \mp \sqrt{22}}{3}$.
$x_1 \approx \frac{-1 - 4.69}{3} \approx -1.9$, $x_2 \approx \frac{-1 + 4.69}{3} \approx 1.23$. Точки $(-1.9, 0)$ и $(1.23, 0)$.
5. Дополнительные точки: при $x=1, y = -3-2+7=2$. Точка $(1, 2)$. При $x=-1, y = -3+2+7=6$. Точка $(-1, 6)$.

Ответ: Координаты вершины: $(- \frac{1}{3}, \frac{22}{3})$. Ось симметрии: $x = - \frac{1}{3}$. График параболы представлен выше.

3) f(x) = -2x² - 5x + 6

Для параболы, заданной функцией $f(x) = -2x^2 - 5x + 6$, мы имеем коэффициенты $a=-2$, $b=-5$, $c=6$.

Координаты вершины
Абсцисса вершины: $x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{-5}{2 \cdot (-2)} = \frac{5}{-4} = -1.25$.
Ордината вершины: $y_v = f(-1.25) = -2(-1.25)^2 - 5(-1.25) + 6 = -2(1.5625) + 6.25 + 6 = -3.125 + 6.25 + 6 = 9.125$.
Координаты вершины: $(-1.25, 9.125)$ или $(- \frac{5}{4}, \frac{73}{8})$.

Ось симметрии
Уравнение оси симметрии: $x = -1.25$.

Построение графика
1. Вершина параболы: $(-1.25, 9.125)$.
2. Так как коэффициент $a=-2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=f(0)=6$. Точка $(0, 6)$.
4. Точки пересечения с осью OX: решим уравнение $-2x^2 - 5x + 6 = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(-2)(6) = 25 + 48 = 73$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{73}}{-4}$.
$x_1 \approx \frac{5 - 8.54}{-4} \approx 0.885$, $x_2 \approx \frac{5 + 8.54}{-4} \approx -3.385$. Точки $(0.885, 0)$ и $(-3.385, 0)$.
5. Дополнительные точки: при $x=1, y = -2-5+6=-1$. Точка $(1, -1)$. При $x=-1, y = -2+5+6=9$. Точка $(-1, 9)$. При $x=-2, y = -8+10+6=8$. Точка $(-2, 8)$. При $x=-3, y = -18+15+6=3$. Точка $(-3, 3)$.

Ответ: Координаты вершины: $(-1.25, 9.125)$. Ось симметрии: $x = -1.25$. График параболы представлен выше.