Номер 14.19, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.19. 1) $y = (x + 2)^2 - 9;$

2) $y = -3(x - 2)^2 + 7;$

3) $y = \frac{1}{5}(x - 4)^2 - 9\frac{1}{15}.$

1) $y = (x + 2)^2 - 9$

Это уравнение квадратичной функции, график которой — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, что позволяет легко определить ключевые свойства графика.

Направление ветвей: Коэффициент при скобке $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы: Координаты вершины — $(h, k)$. В данном уравнении $h = -2$ и $k = -9$. Таким образом, вершина находится в точке $(-2, -9)$.

Ось симметрии: Вертикальная прямая, проходящая через вершину, с уравнением $x = h$. Для данной функции это $x = -2$.

Пересечение с осью Oy: Найдем значение $y$ при $x = 0$:
$y = (0 + 2)^2 - 9 = 4 - 9 = -5$.
Точка пересечения с осью Oy — $(0, -5)$.

Пересечение с осью Ox (нули функции): Найдем значения $x$, при которых $y = 0$:
$0 = (x + 2)^2 - 9$
$(x + 2)^2 = 9$
$x + 2 = \pm 3$
$x_1 = 3 - 2 = 1$
$x_2 = -3 - 2 = -5$
Точки пересечения с осью Ox — $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: Вершина: $(-2, -9)$; ось симметрии: $x = -2$; ветви вверх; пересечение с Oy: $(0, -5)$; пересечения с Ox: $(1, 0)$, $(-5, 0)$.

2) $y = -3(x - 2)^2 + 7$

Это уравнение параболы в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

Направление ветвей: Коэффициент $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы: Координаты вершины — $(h, k)$. В данном уравнении $h = 2$ и $k = 7$. Вершина находится в точке $(2, 7)$.

Ось симметрии: Уравнение оси симметрии $x = h$, то есть $x = 2$.

Пересечение с осью Oy: Найдем значение $y$ при $x = 0$:
$y = -3(0 - 2)^2 + 7 = -3(-2)^2 + 7 = -3(4) + 7 = -12 + 7 = -5$.
Точка пересечения с осью Oy — $(0, -5)$.

Пересечение с осью Ox (нули функции): Найдем значения $x$, при которых $y = 0$:
$0 = -3(x - 2)^2 + 7$
$3(x - 2)^2 = 7$
$(x - 2)^2 = \frac{7}{3}$
$x - 2 = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}$
$x = 2 \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$
Точки пересечения с осью Ox — $(2 - \frac{\sqrt{21}}{3}, 0)$ и $(2 + \frac{\sqrt{21}}{3}, 0)$.

Ответ: Вершина: $(2, 7)$; ось симметрии: $x = 2$; ветви вниз; пересечение с Oy: $(0, -5)$; пересечения с Ox: $(2 - \frac{\sqrt{21}}{3}, 0)$, $(2 + \frac{\sqrt{21}}{3}, 0)$.

3) $y = \frac{1}{5}(x - 4)^2 - 9\frac{1}{15}$

Это уравнение параболы в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Для удобства вычислений преобразуем смешанную дробь в неправильную: $9\frac{1}{15} = \frac{9 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{136}{15}$. Уравнение принимает вид: $y = \frac{1}{5}(x - 4)^2 - \frac{136}{15}$.

Направление ветвей: Коэффициент $a = \frac{1}{5}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы: Координаты вершины — $(h, k)$. В данном уравнении $h = 4$ и $k = -\frac{136}{15}$. Вершина находится в точке $(4, -9\frac{1}{15})$.

Ось симметрии: Уравнение оси симметрии $x = h$, то есть $x = 4$.

Пересечение с осью Oy: Найдем значение $y$ при $x = 0$:
$y = \frac{1}{5}(0 - 4)^2 - \frac{136}{15} = \frac{1}{5}(16) - \frac{136}{15} = \frac{16}{5} - \frac{136}{15}$.
Приводим к общему знаменателю: $y = \frac{48}{15} - \frac{136}{15} = -\frac{88}{15} = -5\frac{13}{15}$.
Точка пересечения с осью Oy — $(0, -5\frac{13}{15})$.

Пересечение с осью Ox (нули функции): Найдем значения $x$, при которых $y = 0$:
$0 = \frac{1}{5}(x - 4)^2 - \frac{136}{15}$
$\frac{1}{5}(x - 4)^2 = \frac{136}{15}$
$(x - 4)^2 = \frac{136}{15} \cdot 5 = \frac{136}{3}$
$x - 4 = \pm\sqrt{\frac{136}{3}}$
$x = 4 \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 34}{3}} = 4 \pm 2\sqrt{\frac{34}{3}} = 4 \pm \frac{2\sqrt{102}}{3}$.
Точки пересечения с осью Ox — $(4 - \frac{2\sqrt{102}}{3}, 0)$ и $(4 + \frac{2\sqrt{102}}{3}, 0)$.

Ответ: Вершина: $(4, -9\frac{1}{15})$; ось симметрии: $x = 4$; ветви вверх; пересечение с Oy: $(0, -5\frac{13}{15})$; пересечения с Ox: $(4 - \frac{2\sqrt{102}}{3}, 0)$, $(4 + \frac{2\sqrt{102}}{3}, 0)$.