Номер 14.22, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.22.

1) $f(x) = 0,8x^2 - 3x + 2,3;$

2) $f(x) = -1,3x^2 - 2x + 3,4;$

3) $f(x) = 2,2x^2 - 4x + 6.$

1) Дана функция $f(x) = 0,8x^2 - 3x + 2,3$.

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$. Графиком является парабола. Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции, нужно найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Координаты вершины вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = f(x_0)$.

В данном случае, коэффициенты равны: $a = 0,8$, $b = -3$, $c = 2,3$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 0,8} = \frac{3}{1,6} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1,875$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив значение $x_0$ в функцию:

$y_0 = f(1,875) = 0,8 \cdot (1,875)^2 - 3 \cdot 1,875 + 2,3$.

Выполним вычисления:

$y_0 = 0,8 \cdot 3,515625 - 5,625 + 2,3 = 2,8125 - 5,625 + 2,3 = -2,8125 + 2,3 = -0,5125$.

Поскольку коэффициент $a = 0,8 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, в вершине функция достигает своего наименьшего значения.

Наименьшее значение функции равно $-0,5125$ и достигается при $x = 1,875$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-0,5125$.

2) Дана функция $f(x) = -1,3x^2 - 2x + 3,4$.

Это квадратичная функция с коэффициентами: $a = -1,3$, $b = -2$, $c = 3,4$.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1,3)} = \frac{2}{-2,6} = -\frac{20}{26} = -\frac{10}{13}$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0$ в функцию:

$y_0 = f(-\frac{10}{13}) = -1,3 \cdot (-\frac{10}{13})^2 - 2 \cdot (-\frac{10}{13}) + 3,4$.

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $1,3 = \frac{13}{10}$, $3,4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$.

$y_0 = -\frac{13}{10} \cdot (\frac{100}{169}) + \frac{20}{13} + \frac{17}{5} = -\frac{13 \cdot 100}{10 \cdot 169} + \frac{20}{13} + \frac{17}{5} = -\frac{10}{13} + \frac{20}{13} + \frac{17}{5}$.

$y_0 = \frac{10}{13} + \frac{17}{5} = \frac{10 \cdot 5}{13 \cdot 5} + \frac{17 \cdot 13}{5 \cdot 13} = \frac{50}{65} + \frac{221}{65} = \frac{271}{65}$.

Поскольку коэффициент $a = -1,3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, в вершине функция достигает своего наибольшего значения.

Наибольшее значение функции равно $\frac{271}{65}$ и достигается при $x = -\frac{10}{13}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{271}{65}$.

3) Дана функция $f(x) = 2,2x^2 - 4x + 6$.

Это квадратичная функция с коэффициентами: $a = 2,2$, $b = -4$, $c = 6$.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2,2} = \frac{4}{4,4} = \frac{40}{44} = \frac{10}{11}$.

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_0$ в функцию:

$y_0 = f(\frac{10}{11}) = 2,2 \cdot (\frac{10}{11})^2 - 4 \cdot (\frac{10}{11}) + 6$.

Представим $2,2$ как обыкновенную дробь: $2,2 = \frac{22}{10}$.

$y_0 = \frac{22}{10} \cdot (\frac{10}{11})^2 - \frac{40}{11} + 6 = \frac{22}{10} \cdot \frac{100}{121} - \frac{40}{11} + 6 = \frac{2 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 11 \cdot 11} - \frac{40}{11} + 6$.

$y_0 = \frac{20}{11} - \frac{40}{11} + 6 = -\frac{20}{11} + \frac{66}{11} = \frac{46}{11}$.

Поскольку коэффициент $a = 2,2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, в вершине функция достигает своего наименьшего значения.

Наименьшее значение функции равно $\frac{46}{11}$ и достигается при $x = \frac{10}{11}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{46}{11}$.