Номер 14.23, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте график функции и найдите координаты вершины параболы (14.23–14.25):

14.23. 1) $y = (x - 1,6) \cdot (x + 3,5);$

2) $y = (2,5x - 4) \cdot (x + 2);$

3) $y = (1,2x + 3,6) \cdot (x - 5).$

1) $y = (x - 1,6)(x + 3,5)$

Для построения графика функции, которая является параболой, и нахождения координат ее вершины, выполним следующие шаги:

1. Нахождение точек пересечения с осью абсцисс (Ox).
Точки пересечения с осью Ox — это корни функции, где $y = 0$.
$(x - 1,6)(x + 3,5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 1,6 = 0 \implies x_1 = 1,6$
$x + 3,5 = 0 \implies x_2 = -3,5$
Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $(1,6; 0)$ и $(-3,5; 0)$.

2. Нахождение координат вершины параболы.
Абсцисса вершины параболы ($x_в$) находится как среднее арифметическое ее корней:
$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1,6 + (-3,5)}{2} = \frac{-1,9}{2} = -0,95$.
Для нахождения ординаты вершины ($y_в$), подставим значение $x_в$ в уравнение функции:
$y_в = (-0,95 - 1,6)(-0,95 + 3,5) = (-2,55)(2,55) = -6,5025$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(-0,95; -6,5025)$.

3. Определение направления ветвей параболы.
Раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:
$y = x^2 + 3,5x - 1,6x - 5,6 = x^2 + 1,9x - 5,6$.
Коэффициент $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

4. Построение графика.
Используя найденные ключевые точки (вершину и точки пересечения с осями), строим график функции. Точка пересечения с осью Oy находится при $x=0$: $y = (0-1,6)(0+3,5) = -5,6$.

Ответ: Координаты вершины параболы $(-0,95; -6,5025)$.

2) $y = (2,5x - 4)(x + 2)$

Решим задачу аналогичным образом.

1. Нахождение точек пересечения с осью Ox.
При $y = 0$: $(2,5x - 4)(x + 2) = 0$.
$2,5x - 4 = 0 \implies 2,5x = 4 \implies x_1 = \frac{4}{2,5} = 1,6$
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
Точки пересечения с осью Ox: $(1,6; 0)$ и $(-2; 0)$.

2. Нахождение координат вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = \frac{1,6 + (-2)}{2} = \frac{-0,4}{2} = -0,2$.
Ордината вершины: $y_в = (2,5(-0,2) - 4)(-0,2 + 2) = (-0,5 - 4)(1,8) = (-4,5)(1,8) = -8,1$.
Координаты вершины параболы: $(-0,2; -8,1)$.

3. Определение направления ветвей параболы.
Раскроем скобки: $y = 2,5x^2 + 5x - 4x - 8 = 2,5x^2 + x - 8$.
Коэффициент $a = 2,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Построение графика.
Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $y = (0-4)(0+2)=-8$. Строим график по точкам.

Ответ: Координаты вершины параболы $(-0,2; -8,1)$.

3) $y = (1,2x + 3,6)(x - 5)$

Проведем аналогичные вычисления для третьей функции.

1. Нахождение точек пересечения с осью Ox.
При $y = 0$: $(1,2x + 3,6)(x - 5) = 0$.
$1,2x + 3,6 = 0 \implies 1,2x = -3,6 \implies x_1 = \frac{-3,6}{1,2} = -3$
$x - 5 = 0 \implies x_2 = 5$
Точки пересечения с осью Ox: $(-3; 0)$ и $(5; 0)$.

2. Нахождение координат вершины параболы.
Абсцисса вершины: $x_в = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ордината вершины: $y_в = (1,2(1) + 3,6)(1 - 5) = (1,2 + 3,6)(-4) = (4,8)(-4) = -19,2$.
Координаты вершины параболы: $(1; -19,2)$.

3. Определение направления ветвей параболы.
Раскроем скобки: $y = 1,2x^2 - 6x + 3,6x - 18 = 1,2x^2 - 2,4x - 18$.
Коэффициент $a = 1,2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Построение графика.
Точка пересечения с осью Oy ($x=0$): $y = (3,6)(-5)=-18$. Строим график по точкам.

Ответ: Координаты вершины параболы $(1; -19,2)$.