Номер 14.26, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.26. Найдите p и q, если точка $A(1; -2)$ является вершиной параболы:

1) $y = x^2 + px + q;$

2) $y = x^2 + 2px + q;$

3) $y = x^2 + 2px + 2q.$

Координаты вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находятся по формуле для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$. По условию, вершина параболы находится в точке $A(1; -2)$, значит, абсцисса вершины $x_0 = 1$. Также, координаты вершины должны удовлетворять уравнению параболы, поэтому мы можем подставить $x=1$ и $y=-2$ в уравнение.

1) $y = x^2 + px + q$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = p$.
Найдем абсциссу вершины, используя формулу: $x_0 = -\frac{p}{2 \cdot 1} = -\frac{p}{2}$.
Так как $x_0 = 1$, получаем уравнение: $-\frac{p}{2} = 1$, из которого следует, что $p = -2$.
Теперь подставим координаты точки $A(1; -2)$ и найденное значение $p = -2$ в исходное уравнение, чтобы найти $q$:
$-2 = 1^2 + (-2) \cdot 1 + q$
$-2 = 1 - 2 + q$
$-2 = -1 + q$
$q = -1$.
Ответ: $p = -2, q = -1$.

2) $y = x^2 + 2px + q$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = 2p$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{2p}{2 \cdot 1} = -p$.
Так как $x_0 = 1$, получаем: $-p = 1$, откуда $p = -1$.
Подставим координаты точки $A(1; -2)$ и $p = -1$ в уравнение, чтобы найти $q$:
$-2 = 1^2 + 2(-1) \cdot 1 + q$
$-2 = 1 - 2 + q$
$-2 = -1 + q$
$q = -1$.
Ответ: $p = -1, q = -1$.

3) $y = x^2 + 2px + 2q$
В этом уравнении коэффициенты $a = 1$ и $b = 2p$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{2p}{2 \cdot 1} = -p$.
Так как $x_0 = 1$, получаем: $-p = 1$, откуда $p = -1$.
Подставим координаты точки $A(1; -2)$ и $p = -1$ в уравнение, чтобы найти $q$:
$-2 = 1^2 + 2(-1) \cdot 1 + 2q$
$-2 = 1 - 2 + 2q$
$-2 = -1 + 2q$
$2q = -1$
$q = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $p = -1, q = -\frac{1}{2}$.