Номер 14.30, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.30.

1) $y = x(x - 1)(x + 1) - x(x + 1)(x + 2);$

2) $y = x(x - 2)(x + 3) - x(x + 2)(x - 4).$

1) Чтобы упростить данное выражение $y = x(x - 1)(x + 1) - x(x + 1)(x + 2)$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
Сначала упростим первое слагаемое $x(x - 1)(x + 1)$. Выражение $(x - 1)(x + 1)$ является формулой разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Теперь умножим результат на $x$:
$x(x^2 - 1) = x^3 - x$.
Далее упростим второе слагаемое $x(x + 1)(x + 2)$. Сначала перемножим скобки $(x + 1)$ и $(x + 2)$:
$(x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$.
Теперь умножим результат на $x$:
$x(x^2 + 3x + 2) = x^3 + 3x^2 + 2x$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:
$y = (x^3 - x) - (x^3 + 3x^2 + 2x)$.
Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:
$y = x^3 - x - x^3 - 3x^2 - 2x$.
Приведем подобные слагаемые:
$y = (x^3 - x^3) - 3x^2 + (-x - 2x) = 0 - 3x^2 - 3x = -3x^2 - 3x$.
Ответ: $y = -3x^2 - 3x$.

2) Упростим выражение $y = x(x - 2)(x + 3) - x(x + 2)(x - 4)$. Так же, как и в первом пункте, раскроем скобки и приведем подобные.
Упростим первое слагаемое $x(x - 2)(x + 3)$. Перемножим скобки $(x - 2)$ и $(x + 3)$:
$(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$.
Умножим результат на $x$:
$x(x^2 + x - 6) = x^3 + x^2 - 6x$.
Теперь упростим второе слагаемое $x(x + 2)(x - 4)$. Перемножим скобки $(x + 2)$ и $(x - 4)$:
$(x + 2)(x - 4) = x^2 - 4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$.
Умножим результат на $x$:
$x(x^2 - 2x - 8) = x^3 - 2x^2 - 8x$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$y = (x^3 + x^2 - 6x) - (x^3 - 2x^2 - 8x)$.
Раскроем скобки, меняя знаки во втором выражении на противоположные:
$y = x^3 + x^2 - 6x - x^3 + 2x^2 + 8x$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$y = (x^3 - x^3) + (x^2 + 2x^2) + (-6x + 8x) = 0 + 3x^2 + 2x = 3x^2 + 2x$.
Ответ: $y = 3x^2 + 2x$.