Номер 14.35, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.35.

1) $y = |3x^2 - 2x - 8| - 3$;

2) $y = |-3x^2 + 3x + 6|^{-2}$;

3) $y = |-2x^2 + 3x + 5| - 3$.

1) $y = |3x^2 - 2x - 8| - 3$

Для анализа и построения графика данной функции разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Анализ квадратичной функции под модулем.Рассмотрим параболу $f(x) = 3x^2 - 2x - 8$. Коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.Найдем координаты вершины параболы:$x_v = -b / (2a) = -(-2) / (2 \cdot 3) = 2/6 = 1/3$.$y_v = f(1/3) = 3(1/3)^2 - 2(1/3) - 8 = 3(1/9) - 2/3 - 8 = 1/3 - 2/3 - 8 = -1/3 - 24/3 = -25/3$.Вершина параболы находится в точке $(1/3, -25/3)$.Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $3x^2 - 2x - 8 = 0$.Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$.$x_1 = (2 - \sqrt{100}) / (2 \cdot 3) = (2 - 10) / 6 = -8/6 = -4/3$.$x_2 = (2 + \sqrt{100}) / (2 \cdot 3) = (2 + 10) / 6 = 12/6 = 2$.Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -4/3$ и $x = 2$.

Шаг 2: Применение модуля.Теперь рассмотрим функцию $y_1 = |3x^2 - 2x - 8|$. График этой функции получается из графика $f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже оси Ox.Часть параболы между корнями $x \in (-4/3, 2)$ находится ниже оси Ox и будет отражена вверх. Вершина $(1/3, -25/3)$ перейдет в точку $(1/3, 25/3)$, которая станет точкой локального максимума. Точки $x=-4/3$ и $x=2$ станут точками излома (локальными минимумами) со значением $y_1=0$.

Шаг 3: Вертикальный сдвиг.Исходная функция $y = |3x^2 - 2x - 8| - 3$ получается из графика $y_1$ сдвигом всего графика на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.Точка локального максимума сместится в $(1/3, 25/3 - 3) = (1/3, 16/3)$.Точки локальных минимумов сместятся в $(-4/3, 0 - 3) = (-4/3, -3)$ и $(2, 0 - 3) = (2, -3)$.Наименьшее значение функции будет -3.

Таким образом, область значений функции — это все числа от -3 включительно и выше.

Ответ: Область значений функции $y \in [-3; +\infty)$.

2) $y = |-3x^2 + 3x + 6| - 2$

Решим задачу аналогично предыдущему пункту, по шагам.

Шаг 1: Анализ параболы $f(x) = -3x^2 + 3x + 6$.Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-3<0$).Найдем координаты вершины:$x_v = -b / (2a) = -3 / (2 \cdot (-3)) = -3 / (-6) = 1/2$.$y_v = f(1/2) = -3(1/2)^2 + 3(1/2) + 6 = -3/4 + 3/2 + 6 = -3/4 + 6/4 + 24/4 = 27/4$.Вершина находится в точке $(1/2, 27/4)$.Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2 + 3x + 6 = 0$. Разделим на -3: $x^2 - x - 2 = 0$.По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 2$.

Шаг 2: Применение модуля.Функция $y_1 = |-3x^2 + 3x + 6|$. График $f(x)$ находится выше оси Ox на интервале $(-1, 2)$, поэтому на этом участке график $y_1$ совпадает с $f(x)$. Вне этого интервала, где $f(x)<0$, график отражается симметрично относительно оси Ox.Вершина $(1/2, 27/4)$ находится выше оси Ox, поэтому она остается точкой локального максимума для $y_1$.Точки $x=-1$ и $x=2$ являются точками излома (локальными минимумами) со значением $y_1=0$.

Шаг 3: Вертикальный сдвиг.Функция $y = |-3x^2 + 3x + 6| - 2$ получается сдвигом графика $y_1$ на 2 единицы вниз.Локальный максимум сместится в $(1/2, 27/4 - 2) = (1/2, 19/4)$.Локальные минимумы сместятся в $(-1, 0 - 2) = (-1, -2)$ и $(2, 0 - 2) = (2, -2)$.Наименьшее значение функции равно -2.

Таким образом, область значений функции — это все числа от -2 включительно и выше.

Ответ: Область значений функции $y \in [-2; +\infty)$.

3) $y = |-2x^2 + 3x + 5| - 3$

Решение этой задачи также проведем в три этапа.

Шаг 1: Анализ параболы $f(x) = -2x^2 + 3x + 5$.Ветви параболы направлены вниз ($a=-2<0$).Координаты вершины:$x_v = -b / (2a) = -3 / (2 \cdot (-2)) = 3/4$.$y_v = f(3/4) = -2(3/4)^2 + 3(3/4) + 5 = -2(9/16) + 9/4 + 5 = -9/8 + 18/8 + 40/8 = 49/8$.Вершина в точке $(3/4, 49/8)$.Нули функции (уравнение $-2x^2 + 3x + 5 = 0$ или $2x^2 - 3x - 5 = 0$):Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.$x_1 = (3 - 7)/4 = -1$.$x_2 = (3 + 7)/4 = 10/4 = 2.5$.Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=2.5$.

Шаг 2: Применение модуля.Функция $y_1 = |-2x^2 + 3x + 5|$. На интервале $(-1, 2.5)$ график $f(x)$ находится выше оси Ox, поэтому график $y_1$ там совпадает с $f(x)$. Вне этого интервала график $f(x)$ отражается вверх.Вершина $(3/4, 49/8)$ является локальным максимумом для $y_1$.Точки $x=-1$ и $x=2.5$ — локальные минимумы (изломы) со значением $y_1=0$.

Шаг 3: Вертикальный сдвиг.Функция $y = |-2x^2 + 3x + 5| - 3$ получается сдвигом графика $y_1$ на 3 единицы вниз.Локальный максимум сместится в $(3/4, 49/8 - 3) = (3/4, 25/8)$.Локальные минимумы сместятся в $(-1, -3)$ и $(2.5, -3)$.Наименьшее значение функции равно -3.

Следовательно, область значений функции — это все числа от -3 включительно и выше.

Ответ: Область значений функции $y \in [-3; +\infty)$.