Номер 14.34, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.34.

1) $y = |3x^2 - 2x - 1|$;

2) $y = |-3x^2 + x + 1|$;

3) $y = |-2x^2 + 3x + 9|$.

1) Чтобы построить график функции $y = |3x^2 - 2x - 1|$, мы сначала построим график параболы $y_1 = 3x^2 - 2x - 1$. Затем ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, мы отразим симметрично относительно этой оси. Оставшаяся часть графика останется без изменений.

Проанализируем параболу $y_1 = 3x^2 - 2x - 1$:

1. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$).

2. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.

$y_в = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) - 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$.

Вершина находится в точке $(\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): решим уравнение $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$x_1 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $(-\frac{1}{3}, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y_1(0) = -1$. Точка $(0, -1)$.

Для построения графика $y = |3x^2 - 2x - 1|$, часть параболы на интервале $(-\frac{1}{3}, 1)$, где $y_1 < 0$, отражается вверх. Вершина $(\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$ переходит в точку локального максимума $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$. Точка $(0, -1)$ переходит в $(0, 1)$.

Ответ: График функции получен из параболы $y = 3x^2 - 2x - 1$ путем отражения ее отрицательной части ($y<0$) относительно оси Ox. Он состоит из участков параболы $y = 3x^2 - 2x - 1$ при $x \in (-\infty, -1/3] \cup [1, \infty)$ и участка параболы $y = -3x^2 + 2x + 1$ при $x \in (-1/3, 1)$.

2) Чтобы построить график функции $y = |-3x^2 + x + 1|$, мы сначала построим график параболы $y_1 = -3x^2 + x + 1$. Затем ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, мы отразим симметрично относительно этой оси.

Проанализируем параболу $y_1 = -3x^2 + x + 1$:

1. Ветви параболы направлены вниз, так как $a=-3 < 0$.

2. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{6}$.

$y_в = -3(\frac{1}{6})^2 + \frac{1}{6} + 1 = -3 \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{6} + 1 = -\frac{1}{12} + \frac{2}{12} + 1 = \frac{13}{12}$.

Вершина находится в точке $(\frac{1}{6}, \frac{13}{12})$.

3. Нули функции: решим уравнение $-3x^2 + x + 1 = 0$, или $3x^2 - x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 1 + 12 = 13$.

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{6} \approx -0.43$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6} \approx 0.77$.

4. Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y_1(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

Для построения графика $y = |-3x^2 + x + 1|$, часть параболы, где $y_1 \ge 0$ (между корнями $x_1$ и $x_2$), остается на месте. Части, где $y_1 < 0$ (вне интервала $[x_1, x_2]$), отражаются вверх.

Ответ: График функции получен из параболы $y = -3x^2 + x + 1$ путем отражения ее отрицательных частей ($y<0$) относительно оси Ox. Он состоит из участка параболы $y = -3x^2 + x + 1$ при $x \in [\frac{1 - \sqrt{13}}{6}, \frac{1 + \sqrt{13}}{6}]$ и участков параболы $y = 3x^2 - x - 1$ при $x$ вне этого отрезка.

3) Чтобы построить график функции $y = |-2x^2 + 3x + 9|$, мы сначала построим график параболы $y_1 = -2x^2 + 3x + 9$. Затем ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, мы отразим симметрично относительно этой оси.

Проанализируем параболу $y_1 = -2x^2 + 3x + 9$:

1. Ветви параболы направлены вниз, так как $a=-2 < 0$.

2. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4} = 0.75$.

$y_в = -2(\frac{3}{4})^2 + 3(\frac{3}{4}) + 9 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} + 9 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{72}{8} = \frac{81}{8} = 10.125$.

Вершина находится в точке $(\frac{3}{4}, \frac{81}{8})$.

3. Нули функции: решим уравнение $-2x^2 + 3x + 9 = 0$, или $2x^2 - 3x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$.

$x_1 = \frac{3 - 9}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$, $x_2 = \frac{3 + 9}{4} = 3$.

4. Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y_1(0) = 9$. Точка $(0, 9)$.

Для построения графика $y = |-2x^2 + 3x + 9|$, часть параболы, где $y_1 \ge 0$ (на отрезке $[-1.5, 3]$), остается на месте. Части, где $y_1 < 0$ (вне отрезка $[-1.5, 3]$), отражаются вверх.

Ответ: График функции получен из параболы $y = -2x^2 + 3x + 9$ путем отражения ее отрицательных частей ($y<0$) относительно оси Ox. Он состоит из участка параболы $y = -2x^2 + 3x + 9$ при $x \in [-1.5, 3]$ и участков параболы $y = 2x^2 - 3x - 9$ при $x$ вне этого отрезка.