Страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте графики функций (14.33–14.36):

14.33. 1) $y = \frac{-2x^3}{\sqrt{x^2}} + 2x - 3$;

2) $y = \frac{3x^3}{(\sqrt{x})^2} - 2x + 3$;

3) $y = \frac{-x^3}{\sqrt{x^2}} + 2|x| - 3$.

1) $y = \frac{-2x^3}{\sqrt{x^2}} + 2x - 3$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\sqrt{x^2} \neq 0$, что означает $|x| \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим выражение для функции, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$: $y = \frac{-2x^3}{|x|} + 2x - 3$.

Рассмотрим два случая:

А) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-2x^3}{x} + 2x - 3 = -2x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-2)} = \frac{1}{2}$. $y_v = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 3 = -2(\frac{1}{4}) + 1 - 3 = -0.5 - 2 = -2.5$. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}; -2.5)$.

Б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-2x^3}{-x} + 2x - 3 = 2x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(2)} = -\frac{1}{2}$. $y_v = 2(-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) - 3 = 2(\frac{1}{4}) - 1 - 3 = 0.5 - 4 = -3.5$. Вершина параболы находится в точке $(-\frac{1}{2}; -3.5)$.

Точка $x=0$ не входит в область определения. При $x \to 0$ с обеих сторон, $y \to -3$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0; -3)$.

Строим график, состоящий из двух частей двух парабол.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. Для $x > 0$ это часть параболы $y = -2x^2 + 2x - 3$ с вершиной в точке $(\frac{1}{2}; -2.5)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = 2x^2 + 2x - 3$ с вершиной в точке $(-\frac{1}{2}; -3.5)$. В точке $x=0$ функция не определена, на графике выколотая точка $(0; -3)$.

2) $y = \frac{3x^3}{(\sqrt{x})^2} - 2x + 3$

Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Знаменатель $(\sqrt{x})^2 = x$ не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции: $x > 0$. $D(y) = (0; +\infty)$.

Упростим выражение для функции в ее области определения: $y = \frac{3x^3}{x} - 2x + 3 = 3x^2 - 2x + 3$.

Графиком функции является часть параболы $y = 3x^2 - 2x + 3$, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(3)} = \frac{1}{3}$. $y_v = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) + 3 = 3(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} + 3 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 3 = \frac{8}{3}$. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{3}; \frac{8}{3})$.

Поскольку $x > 0$, точка $x=0$ не входит в область определения. При $x \to 0^+$, $y \to 3$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0; 3)$.

Строим график.

Ответ: График функции является частью параболы $y = 3x^2 - 2x + 3$ при $x > 0$. Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{3}; \frac{8}{3})$. В точке $x=0$ функция не определена, на графике выколотая точка $(0; 3)$.

3) $y = \frac{-x^3}{\sqrt{x^2}} + 2|x| - 3$

Область определения функции та же, что и в первом задании: $x \neq 0$, так как $\sqrt{x^2} = |x| \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим выражение для функции: $y = \frac{-x^3}{|x|} + 2|x| - 3$.

Рассмотрим два случая:

А) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-x^3}{x} + 2x - 3 = -x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$. $y_v = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$. Вершина параболы находится в точке $(1; -2)$.

Б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{-x^3}{-x} + 2(-x) - 3 = x^2 - 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1$. Координата $x_v=1$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 0$, поэтому на этом промежутке мы имеем дело с убывающей ветвью параболы.

Точка $x=0$ не входит в область определения. При $x \to 0$ с обеих сторон, $y \to -3$. На графике будет выколотая точка $(0; -3)$.

Строим график.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. Для $x > 0$ это часть параболы $y = -x^2 + 2x - 3$ с вершиной в точке $(1; -2)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = x^2 - 2x - 3$. В точке $x=0$ функция не определена, на графике выколотая точка $(0; -3)$.

14.34.

1) $y = |3x^2 - 2x - 1|$;

2) $y = |-3x^2 + x + 1|$;

3) $y = |-2x^2 + 3x + 9|$.

1) Чтобы построить график функции $y = |3x^2 - 2x - 1|$, мы сначала построим график параболы $y_1 = 3x^2 - 2x - 1$. Затем ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, мы отразим симметрично относительно этой оси. Оставшаяся часть графика останется без изменений.

Проанализируем параболу $y_1 = 3x^2 - 2x - 1$:

1. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$).

2. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.

$y_в = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) - 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$.

Вершина находится в точке $(\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): решим уравнение $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$x_1 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $(-\frac{1}{3}, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y_1(0) = -1$. Точка $(0, -1)$.

Для построения графика $y = |3x^2 - 2x - 1|$, часть параболы на интервале $(-\frac{1}{3}, 1)$, где $y_1 < 0$, отражается вверх. Вершина $(\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$ переходит в точку локального максимума $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$. Точка $(0, -1)$ переходит в $(0, 1)$.

Ответ: График функции получен из параболы $y = 3x^2 - 2x - 1$ путем отражения ее отрицательной части ($y<0$) относительно оси Ox. Он состоит из участков параболы $y = 3x^2 - 2x - 1$ при $x \in (-\infty, -1/3] \cup [1, \infty)$ и участка параболы $y = -3x^2 + 2x + 1$ при $x \in (-1/3, 1)$.

2) Чтобы построить график функции $y = |-3x^2 + x + 1|$, мы сначала построим график параболы $y_1 = -3x^2 + x + 1$. Затем ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, мы отразим симметрично относительно этой оси.

Проанализируем параболу $y_1 = -3x^2 + x + 1$:

1. Ветви параболы направлены вниз, так как $a=-3 < 0$.

2. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{6}$.

$y_в = -3(\frac{1}{6})^2 + \frac{1}{6} + 1 = -3 \cdot \frac{1}{36} + \frac{1}{6} + 1 = -\frac{1}{12} + \frac{2}{12} + 1 = \frac{13}{12}$.

Вершина находится в точке $(\frac{1}{6}, \frac{13}{12})$.

3. Нули функции: решим уравнение $-3x^2 + x + 1 = 0$, или $3x^2 - x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 1 + 12 = 13$.

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{6} \approx -0.43$, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6} \approx 0.77$.

4. Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y_1(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

Для построения графика $y = |-3x^2 + x + 1|$, часть параболы, где $y_1 \ge 0$ (между корнями $x_1$ и $x_2$), остается на месте. Части, где $y_1 < 0$ (вне интервала $[x_1, x_2]$), отражаются вверх.

Ответ: График функции получен из параболы $y = -3x^2 + x + 1$ путем отражения ее отрицательных частей ($y<0$) относительно оси Ox. Он состоит из участка параболы $y = -3x^2 + x + 1$ при $x \in [\frac{1 - \sqrt{13}}{6}, \frac{1 + \sqrt{13}}{6}]$ и участков параболы $y = 3x^2 - x - 1$ при $x$ вне этого отрезка.

3) Чтобы построить график функции $y = |-2x^2 + 3x + 9|$, мы сначала построим график параболы $y_1 = -2x^2 + 3x + 9$. Затем ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, мы отразим симметрично относительно этой оси.

Проанализируем параболу $y_1 = -2x^2 + 3x + 9$:

1. Ветви параболы направлены вниз, так как $a=-2 < 0$.

2. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4} = 0.75$.

$y_в = -2(\frac{3}{4})^2 + 3(\frac{3}{4}) + 9 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} + 9 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{72}{8} = \frac{81}{8} = 10.125$.

Вершина находится в точке $(\frac{3}{4}, \frac{81}{8})$.

3. Нули функции: решим уравнение $-2x^2 + 3x + 9 = 0$, или $2x^2 - 3x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$.

$x_1 = \frac{3 - 9}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$, $x_2 = \frac{3 + 9}{4} = 3$.

4. Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y_1(0) = 9$. Точка $(0, 9)$.

Для построения графика $y = |-2x^2 + 3x + 9|$, часть параболы, где $y_1 \ge 0$ (на отрезке $[-1.5, 3]$), остается на месте. Части, где $y_1 < 0$ (вне отрезка $[-1.5, 3]$), отражаются вверх.

Ответ: График функции получен из параболы $y = -2x^2 + 3x + 9$ путем отражения ее отрицательных частей ($y<0$) относительно оси Ox. Он состоит из участка параболы $y = -2x^2 + 3x + 9$ при $x \in [-1.5, 3]$ и участков параболы $y = 2x^2 - 3x - 9$ при $x$ вне этого отрезка.

14.35.

1) $y = |3x^2 - 2x - 8| - 3$;

2) $y = |-3x^2 + 3x + 6|^{-2}$;

3) $y = |-2x^2 + 3x + 5| - 3$.

1) $y = |3x^2 - 2x - 8| - 3$

Для анализа и построения графика данной функции разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Анализ квадратичной функции под модулем.Рассмотрим параболу $f(x) = 3x^2 - 2x - 8$. Коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.Найдем координаты вершины параболы:$x_v = -b / (2a) = -(-2) / (2 \cdot 3) = 2/6 = 1/3$.$y_v = f(1/3) = 3(1/3)^2 - 2(1/3) - 8 = 3(1/9) - 2/3 - 8 = 1/3 - 2/3 - 8 = -1/3 - 24/3 = -25/3$.Вершина параболы находится в точке $(1/3, -25/3)$.Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $3x^2 - 2x - 8 = 0$.Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$.$x_1 = (2 - \sqrt{100}) / (2 \cdot 3) = (2 - 10) / 6 = -8/6 = -4/3$.$x_2 = (2 + \sqrt{100}) / (2 \cdot 3) = (2 + 10) / 6 = 12/6 = 2$.Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -4/3$ и $x = 2$.

Шаг 2: Применение модуля.Теперь рассмотрим функцию $y_1 = |3x^2 - 2x - 8|$. График этой функции получается из графика $f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже оси Ox.Часть параболы между корнями $x \in (-4/3, 2)$ находится ниже оси Ox и будет отражена вверх. Вершина $(1/3, -25/3)$ перейдет в точку $(1/3, 25/3)$, которая станет точкой локального максимума. Точки $x=-4/3$ и $x=2$ станут точками излома (локальными минимумами) со значением $y_1=0$.

Шаг 3: Вертикальный сдвиг.Исходная функция $y = |3x^2 - 2x - 8| - 3$ получается из графика $y_1$ сдвигом всего графика на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.Точка локального максимума сместится в $(1/3, 25/3 - 3) = (1/3, 16/3)$.Точки локальных минимумов сместятся в $(-4/3, 0 - 3) = (-4/3, -3)$ и $(2, 0 - 3) = (2, -3)$.Наименьшее значение функции будет -3.

Таким образом, область значений функции — это все числа от -3 включительно и выше.

Ответ: Область значений функции $y \in [-3; +\infty)$.

2) $y = |-3x^2 + 3x + 6| - 2$

Решим задачу аналогично предыдущему пункту, по шагам.

Шаг 1: Анализ параболы $f(x) = -3x^2 + 3x + 6$.Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-3<0$).Найдем координаты вершины:$x_v = -b / (2a) = -3 / (2 \cdot (-3)) = -3 / (-6) = 1/2$.$y_v = f(1/2) = -3(1/2)^2 + 3(1/2) + 6 = -3/4 + 3/2 + 6 = -3/4 + 6/4 + 24/4 = 27/4$.Вершина находится в точке $(1/2, 27/4)$.Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2 + 3x + 6 = 0$. Разделим на -3: $x^2 - x - 2 = 0$.По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 2$.

Шаг 2: Применение модуля.Функция $y_1 = |-3x^2 + 3x + 6|$. График $f(x)$ находится выше оси Ox на интервале $(-1, 2)$, поэтому на этом участке график $y_1$ совпадает с $f(x)$. Вне этого интервала, где $f(x)<0$, график отражается симметрично относительно оси Ox.Вершина $(1/2, 27/4)$ находится выше оси Ox, поэтому она остается точкой локального максимума для $y_1$.Точки $x=-1$ и $x=2$ являются точками излома (локальными минимумами) со значением $y_1=0$.

Шаг 3: Вертикальный сдвиг.Функция $y = |-3x^2 + 3x + 6| - 2$ получается сдвигом графика $y_1$ на 2 единицы вниз.Локальный максимум сместится в $(1/2, 27/4 - 2) = (1/2, 19/4)$.Локальные минимумы сместятся в $(-1, 0 - 2) = (-1, -2)$ и $(2, 0 - 2) = (2, -2)$.Наименьшее значение функции равно -2.

Таким образом, область значений функции — это все числа от -2 включительно и выше.

Ответ: Область значений функции $y \in [-2; +\infty)$.

3) $y = |-2x^2 + 3x + 5| - 3$

Решение этой задачи также проведем в три этапа.

Шаг 1: Анализ параболы $f(x) = -2x^2 + 3x + 5$.Ветви параболы направлены вниз ($a=-2<0$).Координаты вершины:$x_v = -b / (2a) = -3 / (2 \cdot (-2)) = 3/4$.$y_v = f(3/4) = -2(3/4)^2 + 3(3/4) + 5 = -2(9/16) + 9/4 + 5 = -9/8 + 18/8 + 40/8 = 49/8$.Вершина в точке $(3/4, 49/8)$.Нули функции (уравнение $-2x^2 + 3x + 5 = 0$ или $2x^2 - 3x - 5 = 0$):Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.$x_1 = (3 - 7)/4 = -1$.$x_2 = (3 + 7)/4 = 10/4 = 2.5$.Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=2.5$.

Шаг 2: Применение модуля.Функция $y_1 = |-2x^2 + 3x + 5|$. На интервале $(-1, 2.5)$ график $f(x)$ находится выше оси Ox, поэтому график $y_1$ там совпадает с $f(x)$. Вне этого интервала график $f(x)$ отражается вверх.Вершина $(3/4, 49/8)$ является локальным максимумом для $y_1$.Точки $x=-1$ и $x=2.5$ — локальные минимумы (изломы) со значением $y_1=0$.

Шаг 3: Вертикальный сдвиг.Функция $y = |-2x^2 + 3x + 5| - 3$ получается сдвигом графика $y_1$ на 3 единицы вниз.Локальный максимум сместится в $(3/4, 49/8 - 3) = (3/4, 25/8)$.Локальные минимумы сместятся в $(-1, -3)$ и $(2.5, -3)$.Наименьшее значение функции равно -3.

Следовательно, область значений функции — это все числа от -3 включительно и выше.

Ответ: Область значений функции $y \in [-3; +\infty)$.

14.36. 1) $y = x^2 - 3x - (\sqrt{x-3})^2;$ 2) $y = x^2 - 2x - \sqrt{(x-2)^2};$

3) $y = x|x - 3| - 3x + 8;$ 4) $y = x \cdot (\sqrt{x-3})^2 - 3x + 8.$

1) Исходная функция: $y = x^2 - 3x - (\sqrt{x-3})^2$.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому:

$x-3 \ge 0$

$x \ge 3$

Область определения функции (ОДЗ): $D(y) = [3, +\infty)$.

Теперь упростим уравнение функции. Для всех $x$ из области определения справедливо тождество $(\sqrt{x-3})^2 = x-3$.

$y = x^2 - 3x - (x-3)$

$y = x^2 - 3x - x + 3$

$y = x^2 - 4x + 3$

Это уравнение параболы с ветвями, направленными вверх. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ находятся по формуле $x_в = -b / (2a)$.

$x_в = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.

Значение $x_в = 2$ не входит в область определения функции $D(y) = [3, +\infty)$. Поскольку вершина находится левее, на всей своей области определения функция будет монотонно возрастать.

Найдем начальную точку графика, подставив $x=3$ в уравнение:

$y(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$.

Таким образом, график функции — это часть параболы $y = x^2 - 4x + 3$, начинающаяся в точке $(3, 0)$ и уходящая вправо и вверх.

Ответ: Функция задается уравнением $y = x^2 - 4x + 3$ при $x \ge 3$. Ее график — часть параболы с ветвями вверх, выходящая из точки $(3, 0)$.

2) Исходная функция: $y = x^2 - 2x - \sqrt{(x-2)^2}$.

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = R$), так как выражение под корнем $(x-2)^2$ всегда неотрицательно.

Упростим выражение, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$

Таким образом, функция принимает вид: $y = x^2 - 2x - |x-2|$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

В этом случае $|x-2| = x-2$.

$y = x^2 - 2x - (x-2) = x^2 - 3x + 2$.

Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_в = -(-3)/2 = 1.5$, что не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 2$. При $x=2$, $y=2^2-3 \cdot 2+2=0$.

Случай 2: $x-2 < 0$, то есть $x < 2$.

В этом случае $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.

$y = x^2 - 2x - (-x+2) = x^2 - x - 2$.

Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_в = -(-1)/2 = 0.5$. $y_в = (0.5)^2 - 0.5 - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$. Вершина: $(0.5, -2.25)$.

График состоит из двух частей парабол, которые непрерывно соединяются в точке $(2, 0)$.

Ответ: Функция задается кусочно: $y = x^2 - x - 2$ при $x < 2$ и $y = x^2 - 3x + 2$ при $x \ge 2$. График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(2, 0)$, с вершиной левой части в точке $(0.5, -2.25)$.

3) Исходная функция: $y = x|x - 3| - 3x + 8$.

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = R$).

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

В этом случае $|x-3| = x-3$.

$y = x(x - 3) - 3x + 8 = x^2 - 3x - 3x + 8 = x^2 - 6x + 8$.

Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_в = -(-6)/2 = 3$. $y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. Вершина $(3, -1)$ является начальной точкой этой части графика.

Случай 2: $x-3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x-3| = -(x-3) = -x+3$.

$y = x(-x + 3) - 3x + 8 = -x^2 + 3x - 3x + 8 = -x^2 + 8$.

Это парабола с ветвями вниз. Вершина в точке $x_в = -0/(-2) = 0$. $y_в = -0^2 + 8 = 8$. Вершина: $(0, 8)$.

График состоит из двух частей парабол, которые непрерывно соединяются в точке $(3, -1)$.

Ответ: Функция задается кусочно: $y = -x^2 + 8$ при $x < 3$ и $y = x^2 - 6x + 8$ при $x \ge 3$. График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(3, -1)$.

4) Исходная функция: $y = x \cdot (\sqrt{x-3})^2 - 3x + 8$.

Область определения функции такая же, как в задании 1): $x-3 \ge 0$, то есть $D(y) = [3, +\infty)$.

Упростим выражение на этой области определения:

$y = x(x-3) - 3x + 8$

$y = x^2 - 3x - 3x + 8$

$y = x^2 - 6x + 8$

Получили уравнение параболы с ветвями вверх. Это та же парабола, что и в первом случае задания 3), но рассматриваемая на другой области определения.

Координаты вершины: $x_в = -(-6)/2 = 3$. $y_в = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = -1$.

Вершина параболы $(3, -1)$ совпадает с начальной точкой области определения $x \ge 3$.

Следовательно, график функции — это правая ветвь параболы $y = x^2 - 6x + 8$, начинающаяся в ее вершине $(3, -1)$.

Ответ: Функция задается уравнением $y = x^2 - 6x + 8$ при $x \ge 3$. Ее график — правая ветвь параболы, начинающаяся в ее вершине $(3, -1)$.

14.37. Постройте график функции $y = 2x^2 - (a - 3)x + 3$, если известно, что прямая:

1) $x = -2$ является ее осью симметрии;

2) $x = 3$ является ее осью симметрии.

Данная функция $y = 2x^2 - (a - 3)x + 3$ является квадратичной, ее график — парабола. Уравнение оси симметрии параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A = 2$, $B = -(a - 3) = 3 - a$, $C = 3$.

Тогда уравнение оси симметрии: $x_0 = -\frac{3 - a}{2 \cdot 2} = \frac{a - 3}{4}$.

1) $x = -2$ является ее осью симметрии;

Приравняем формулу для оси симметрии к заданному значению $x = -2$ и найдем параметр $a$.

$\frac{a - 3}{4} = -2$

$a - 3 = -8$

$a = -5$

Подставим найденное значение $a = -5$ в исходное уравнение функции:

$y = 2x^2 - (-5 - 3)x + 3 = 2x^2 + 8x + 3$.

Для построения графика найдем координаты вершины и несколько ключевых точек.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. По условию $x_0 = -2$.

$y_0 = 2(-2)^2 + 8(-2) + 3 = 2 \cdot 4 - 16 + 3 = -5$.

Вершина находится в точке $(-2, -5)$.

Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $y = 3$. Точка $(0, 3)$.

Так как $x=-2$ — ось симметрии, то точке $(0, 3)$ симметрична точка $(-4, 3)$.

Возьмем еще одну точку, например, при $x=-1$: $y = 2(-1)^2 + 8(-1) + 3 = -3$. Точка $(-1, -3)$. Симметричная ей точка: $(-3, -3)$.

По этим точкам строим график функции $y = 2x^2 + 8x + 3$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 + 8x + 3$ построен на рисунке выше.

2) $x = 3$ является ее осью симметрии.

Приравняем формулу для оси симметрии к заданному значению $x = 3$ и найдем параметр $a$.

$\frac{a - 3}{4} = 3$

$a - 3 = 12$

$a = 15$

Подставим найденное значение $a = 15$ в исходное уравнение функции:

$y = 2x^2 - (15 - 3)x + 3 = 2x^2 - 12x + 3$.

Для построения графика найдем координаты вершины и несколько ключевых точек.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. По условию $x_0 = 3$.

$y_0 = 2(3)^2 - 12(3) + 3 = 2 \cdot 9 - 36 + 3 = -15$.

Вершина находится в точке $(3, -15)$.

Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $y = 3$. Точка $(0, 3)$.

Так как $x=3$ — ось симметрии, то точке $(0, 3)$ симметрична точка $(6, 3)$.

Возьмем еще одну точку, например, при $x=1$: $y = 2(1)^2 - 12(1) + 3 = -7$. Точка $(1, -7)$. Симметричная ей точка: $(5, -7)$.

По этим точкам строим график функции $y = 2x^2 - 12x + 3$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 12x + 3$ построен на рисунке выше.

14.38. Постройте график функции:

1) $y = 2x^2 - x + a$, если известно, что:

a) ее наименьшее значение равно 2;

б) ее наименьшее значение равно -4;

2) $y = -x^2 + 2x + a$, если известно, что:

a) ее наибольшее значение равно 6;

б) ее наибольшее значение равно -2.

1) Для функции $y = 2x^2 - x + a$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находятся по формуле $x_v = -B / (2A)$. Наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_v = y(x_v)$.

Для данной функции $A=2$, $B=-1$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_v = -(-1) / (2 \cdot 2) = 1/4$

Найдем ординату вершины, подставив $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = 2(1/4)^2 - (1/4) + a = 2(1/16) - 1/4 + a = 1/8 - 2/8 + a = a - 1/8$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $a - 1/8$.

а) ее наименьшее значение равно 2;

Используем условие, что наименьшее значение равно 2:

$y_v = a - 1/8 = 2$

Отсюда находим параметр $a$:

$a = 2 + 1/8 = 16/8 + 1/8 = 17/8$

Уравнение функции принимает вид: $y = 2x^2 - x + 17/8$. Вершина параболы находится в точке $(1/4, 2)$.

График функции:

Ответ: Уравнение функции $y = 2x^2 - x + 17/8$. График — парабола с вершиной в точке $(1/4, 2)$.

б) ее наименьшее значение равно -4;

Используем условие, что наименьшее значение равно -4:

$y_v = a - 1/8 = -4$

Отсюда находим параметр $a$:

$a = -4 + 1/8 = -32/8 + 1/8 = -31/8$

Уравнение функции принимает вид: $y = 2x^2 - x - 31/8$. Вершина параболы находится в точке $(1/4, -4)$.

График функции:

Ответ: Уравнение функции $y = 2x^2 - x - 31/8$. График — парабола с вершиной в точке $(1/4, -4)$.

2) Для функции $y = -x^2 + 2x + a$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Для данной функции $A=-1$, $B=2$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_v = -2 / (2 \cdot (-1)) = -2 / (-2) = 1$

Найдем ординату вершины, подставив $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = -(1)^2 + 2(1) + a = -1 + 2 + a = a + 1$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $a + 1$.

а) ее наибольшее значение равно 6;

Используем условие, что наибольшее значение равно 6:

$y_v = a + 1 = 6$

Отсюда находим параметр $a$:

$a = 6 - 1 = 5$

Уравнение функции принимает вид: $y = -x^2 + 2x + 5$. Вершина параболы находится в точке $(1, 6)$.

График функции:

Ответ: Уравнение функции $y = -x^2 + 2x + 5$. График — парабола с вершиной в точке $(1, 6)$.

б) ее наибольшее значение равно -2.

Используем условие, что наибольшее значение равно -2:

$y_v = a + 1 = -2$

Отсюда находим параметр $a$:

$a = -2 - 1 = -3$

Уравнение функции принимает вид: $y = -x^2 + 2x - 3$. Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$.

График функции:

Ответ: Уравнение функции $y = -x^2 + 2x - 3$. График — парабола с вершиной в точке $(1, -2)$.

14.39. Для функции $y = ax^2 - bx + c$, график которой изображен на рисунке 20, найдите знаки коэффициентов $a, b, c$ и $D$, где $D = b^2 - 4ac$.

1)

2)

3)

4)

Рис. 20

Для определения знаков коэффициентов и дискриминанта квадратичной функции $y = ax^2 - bx + c$ проанализируем её график.

1. Знак коэффициента a определяется направлением ветвей параболы. На данном графике ветви направлены вниз, следовательно, $a < 0$.

2. Знак коэффициента c определяется точкой пересечения графика с осью $y$. График пересекает ось $y$ при $x=0$, тогда $y(0) = c$. Поскольку точка пересечения находится выше оси $x$, её ордината положительна, значит $c > 0$.

3. Знак коэффициента b связан с абсциссой вершины параболы $x_v$. Формула для абсциссы вершины в данном уравнении: $x_v = -(-b) / (2a) = b / (2a)$. Вершина параболы находится в левой полуплоскости, то есть $x_v < 0$. Так как $a < 0$, для того чтобы дробь $b / (2a)$ была отрицательной, необходимо, чтобы $b$ был положительным, то есть $b > 0$.

4. Знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ определяется количеством точек пересечения параболы с осью $x$. График пересекает ось $x$ в двух различных точках, значит, квадратное уравнение $ax^2 - bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Следовательно, $D > 0$.

Ответ: $a < 0$, $b > 0$, $c > 0$, $D > 0$.

1. Знак a: ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Знак c: график пересекает ось $y$ выше оси $x$, значит, $y(0) = c > 0$.

3. Знак b: абсцисса вершины $x_v = b / (2a)$. Вершина находится в левой полуплоскости, поэтому $x_v < 0$. Так как $a > 0$, для отрицательности дроби необходимо, чтобы $b < 0$.

4. Знак $D$: парабола не пересекает ось $x$, поэтому квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, $D = b^2 - 4ac < 0$.

Ответ: $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$, $D < 0$.

1. Знак a: ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Знак c: график пересекает ось $y$ ниже оси $x$, значит, $y(0) = c < 0$.

3. Знак b: абсцисса вершины $x_v = b / (2a)$. Вершина находится в правой полуплоскости, поэтому $x_v > 0$. Так как $a > 0$, для положительности дроби необходимо, чтобы $b > 0$.

4. Знак $D$: парабола пересекает ось $x$ в двух различных точках, следовательно, $D = b^2 - 4ac > 0$.

Ответ: $a > 0$, $b > 0$, $c < 0$, $D > 0$.

1. Знак a: ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Знак c: график пересекает ось $y$ выше оси $x$, значит, $y(0) = c > 0$.

3. Знак b: абсцисса вершины $x_v = b / (2a)$. Вершина находится в левой полуплоскости, поэтому $x_v < 0$. Так как $a > 0$, для отрицательности дроби необходимо, чтобы $b < 0$.

4. Знак $D$: парабола касается оси $x$ в одной точке (вершине), значит, квадратное уравнение имеет один действительный корень. Следовательно, $D = b^2 - 4ac = 0$.

Ответ: $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$, $D = 0$.