Страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему при составлении интервальных таблиц частот (табл. 10, 11) и построении гистограмм (рис. 23, 24) результаты наблюдений массы детей распределили по интервалам?

2. Что является графическим представлением результатов наблюдений, отраженных в интервальной таблице частот?

3. Для чего нужна гистограмма?

1. При работе с непрерывными данными, такими как масса тела, количество уникальных значений может быть очень большим, и многие из них могут встречаться всего один раз. Если составлять таблицу частот для каждого отдельного значения, она получится громоздкой и неинформативной, так как не покажет общих тенденций. Распределение результатов по интервалам (например, от 3,0 до 3,5 кг) позволяет сгруппировать близкие значения. Это делает данные более управляемыми и позволяет выявить закономерности: увидеть, какие диапазоны значений встречаются чаще, каков общий разброс данных и какова форма распределения. Таким образом, группировка в интервалы — это необходимый шаг для упрощения и наглядного анализа непрерывных данных. Ответ: Результаты наблюдений распределили по интервалам, потому что масса является непрерывной величиной с большим разнообразием значений, и группировка делает анализ распределения более наглядным и удобным.

2. Графическим представлением результатов наблюдений, которые отражены в интервальной таблице частот, является гистограмма. Гистограмма — это столбчатая диаграмма, где по горизонтальной оси откладываются непрерывные интервалы значений, а по вертикальной — частота (или относительная частота) попадания значений в каждый из этих интервалов. Прямоугольники гистограммы строятся без промежутков между ними, чтобы подчеркнуть непрерывный характер данных. Ответ: Графическим представлением результатов наблюдений, отраженных в интервальной таблице частот, является гистограмма.

3. Гистограмма является важным инструментом визуального анализа данных. Она нужна для того, чтобы наглядно представить форму распределения набора количественных данных. Анализируя гистограмму, можно быстро оценить несколько ключевых характеристик данных: их центральную тенденцию (где концентрируется большинство значений), разброс (насколько вариативны данные), симметричность или скошенность распределения, а также наличие потенциальных выбросов (аномально высоких или низких значений). Это позволяет получить общее представление о структуре данных перед проведением более сложного статистического анализа. Ответ: Гистограмма нужна для наглядного представления распределения данных, позволяя оценить его форму, центр, разброс и наличие выбросов.

15.1. Постройте гистограмму по данным интервальной таблицы частот (табл. 12).

Таблица 12

Промежутки времени, ч: 2—6, 6—10, 10—14, 14—18, 18—22, 22—26

Температура воздуха, °C: 13, 19, 22, 22, 18, 14

Для построения гистограммы по данным, представленным в интервальной таблице частот, необходимо выполнить следующие действия. Сначала строим систему координат, где по горизонтальной оси откладываются промежутки времени, а по вертикальной — соответствующие им значения температуры. Затем для каждого интервала времени рисуем прямоугольник, основание которого равно длине интервала, а высота — значению температуры. Прямоугольники для соседних интервалов должны примыкать друг к другу.

Исходные данные для построения:
- Интервал 2–6 ч: температура 13 °C
- Интервал 6–10 ч: температура 19 °C
- Интервал 10–14 ч: температура 22 °C
- Интервал 14–18 ч: температура 22 °C
- Интервал 18–22 ч: температура 18 °C
- Интервал 22–26 ч: температура 14 °C

Ниже представлена гистограмма, построенная на основе этих данных.

Ответ: На представленном рисунке построена гистограмма, визуализирующая данные о температуре воздуха в различные промежутки времени. Горизонтальная ось отображает 4-часовые интервалы суток, а вертикальная ось — среднюю температуру в градусах Цельсия для каждого интервала. Из гистограммы видно, что самая высокая температура, равная 22°C, наблюдалась в период с 10:00 до 18:00, а самая низкая, 13°C, — в промежутке с 2:00 до 6:00.

15.2. Дайте ответы на следующие вопросы по гистограмме (рис. 25):

Рис. 25

1) С какой скоростью ехала машина через: а) 15 мин, б) 20 мин после начала движения?

2) В какой промежуток времени после начала движения скорость машины была: а) $60 \text{ км/ч}$; б) $30 \text{ км/ч}$? На какие вопросы можно еще получить ответ по этой гистограмме?

1) Для ответа на этот вопрос необходимо определить, в какой временной промежуток попадает указанный момент времени, и посмотреть на соответствующую ему скорость по гистограмме. Будем считать, что каждый столбец гистограммы представляет скорость на временном интервале, включающем начальный момент времени и не включающем конечный, т.е. вида $[t_1, t_2)$.

а) 15 мин
Момент времени 15 минут является началом промежутка $[15, 20)$ мин. Высота столбца для этого промежутка соответствует скорости 50 км/ч.

б) 20 мин
Момент времени 20 минут является началом промежутка $[20, 25)$ мин. Высота столбца для этого промежутка соответствует скорости 60 км/ч.

Ответ: а) 50 км/ч; б) 60 км/ч.

2) Для ответа на этот вопрос необходимо найти на оси скоростей (вертикальной) указанное значение, определить соответствующий ему столбец и прочитать временной интервал на горизонтальной оси.

а) 60 км/ч
Скорость 60 км/ч (самый высокий столбец) наблюдалась в промежуток времени от 20 до 25 минут после начала движения.

б) 30 км/ч
Скорость 30 км/ч наблюдалась в промежуток времени от 25 до 30 минут после начала движения.

На какие вопросы можно еще получить ответ по этой гистограмме?
По данной гистограмме можно ответить на множество других вопросов, например:

1. Какова была максимальная скорость автомобиля и в какой промежуток времени она была достигнута?
Максимальная скорость соответствует самому высокому столбцу на гистограмме. Это 60 км/ч в промежутке времени от 20 до 25 минут.

2. Какой путь проехал автомобиль за время с 5-й по 30-ю минуту?
Путь на каждом участке вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Время каждого участка составляет 5 минут, что равно $5/60 = 1/12$ часа.

• $S_1$ (5-10 мин): $20 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{12} \text{ ч} = \frac{20}{12} \text{ км} = \frac{5}{3} \text{ км}$
• $S_2$ (10-15 мин): $40 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{12} \text{ ч} = \frac{40}{12} \text{ км} = \frac{10}{3} \text{ км}$
• $S_3$ (15-20 мин): $50 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{12} \text{ ч} = \frac{50}{12} \text{ км} = \frac{25}{6} \text{ км}$
• $S_4$ (20-25 мин): $60 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{12} \text{ ч} = \frac{60}{12} \text{ км} = 5 \text{ км}$
• $S_5$ (25-30 мин): $30 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{12} \text{ ч} = \frac{30}{12} \text{ км} = \frac{5}{2} \text{ км}$

Общий путь: $S_{общ} = \frac{5}{3} + \frac{10}{3} + \frac{25}{6} + 5 + \frac{5}{2} = \frac{15}{3} + 5 + \frac{25}{6} + \frac{15}{6} = 5 + 5 + \frac{40}{6} = 10 + \frac{20}{3} = \frac{30+20}{3} = \frac{50}{3} \text{ км} \approx 16.67 \text{ км}$.

3. Какова средняя скорость автомобиля за этот период (с 5-й по 30-ю минуту)?
Средняя скорость вычисляется как отношение общего пути к общему времени. Общее время движения $T = 30 - 5 = 25$ минут $= \frac{25}{60}$ часа $= \frac{5}{12}$ часа. $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T} = \frac{50/3 \text{ км}}{5/12 \text{ ч}} = \frac{50}{3} \cdot \frac{12}{5} = 10 \cdot 4 = 40 \text{ км/ч}$.

Ответ: Скорость 60 км/ч была в промежутке времени $[20, 25)$ мин; скорость 30 км/ч была в промежутке $[25, 30)$ мин. Дополнительно можно узнать максимальную скорость, пройденный путь, среднюю скорость и т.д.