Страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.40*.1) Постройте график функции $f(x) = 2x^2 - (a + 2)x + a$, если известно, что ее нули $x_1$ и $x_2$ связаны соотношением $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$.

2) Постройте график функции $f(x) = x^2 + 3x + a$, если известно, что ее нули $x_1$ и $x_2$ связаны соотношением $x_1^2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^2 = 12$.

1)

Дана функция $f(x) = 2x^2 - (a+2)x + a$. Ее нули $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $2x^2 - (a+2)x + a = 0$. По условию, нули связаны соотношением $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3$.

Преобразуем это соотношение, приведя дроби к общему знаменателю: $\frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} = 3$.

Для нахождения суммы и произведения корней воспользуемся теоремой Виета для уравнения $Ax^2+Bx+C=0$: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$ $x_1 x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем случае коэффициенты: $A=2$, $B=-(a+2)$, $C=a$. Тогда: $x_1 + x_2 = -\frac{-(a+2)}{2} = \frac{a+2}{2}$ $x_1 x_2 = \frac{a}{2}$

Подставим эти выражения в преобразованное соотношение: $\frac{\frac{a+2}{2}}{\frac{a}{2}} = 3$

Решим полученное уравнение относительно $a$. Отметим, что для существования исходного соотношения необходимо, чтобы $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, что означает $x_1 x_2 \neq 0$, следовательно, $\frac{a}{2} \neq 0$, то есть $a \neq 0$. $\frac{a+2}{a} = 3$ $a+2 = 3a$ $2a = 2$ $a = 1$

Найденное значение $a=1$ удовлетворяет условию $a \neq 0$. Проверим, существуют ли при этом значении $a$ действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$: $D = B^2 - 4AC = (-(a+2))^2 - 4(2)(a) = (a+2)^2 - 8a$ При $a=1$: $D = (1+2)^2 - 8(1) = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1$. Так как $D=1>0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь, когда мы нашли $a=1$, мы можем записать уравнение функции: $f(x) = 2x^2 - (1+2)x + 1$ $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$

Для построения графика этой функции, которая является параболой, найдем ее ключевые характеристики:

• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля.
• Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$ $y_v = f(\frac{3}{4}) = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) + 1 = 2(\frac{9}{16}) - \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{1}{8} = -0.125$ Вершина находится в точке $(0.75, -0.125)$.
• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): $2x^2 - 3x + 1 = 0$ $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}$ $x_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$ $x_2 = \frac{3+1}{4} = 1$ Точки пересечения: $(0.5, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 2(0)^2 - 3(0) + 1 = 1$ Точка пересечения: $(0, 1)$.

Построим график функции $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

Ответ: При $a=1$ функция имеет вид $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. График функции — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0.75, -0.125)$ и пересекающая ось Ox в точках $(0.5, 0)$ и $(1, 0)$.

2)

Дана функция $f(x) = x^2 + 3x + a$. Ее нули $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 + 3x + a = 0$. По условию, нули связаны соотношением $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = 12$.

Преобразуем это соотношение, вынеся общий множитель $x_1 x_2$ за скобки: $x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 12$.

Для нахождения суммы и произведения корней воспользуемся теоремой Виета для уравнения $Ax^2+Bx+C=0$: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$ $x_1 x_2 = \frac{C}{A}$

В нашем случае коэффициенты: $A=1$, $B=3$, $C=a$. Тогда: $x_1 + x_2 = -\frac{3}{1} = -3$ $x_1 x_2 = \frac{a}{1} = a$

Подставим эти выражения в преобразованное соотношение: $a \cdot (-3) = 12$

Решим полученное уравнение относительно $a$: $-3a = 12$ $a = -4$

Проверим, существуют ли при этом значении $a$ действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$: $D = B^2 - 4AC = 3^2 - 4(1)(a) = 9 - 4a$ При $a=-4$: $D = 9 - 4(-4) = 9 + 16 = 25$. Так как $D=25>0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь, когда мы нашли $a=-4$, мы можем записать уравнение функции: $f(x) = x^2 + 3x - 4$

Для построения графика этой функции, которая является параболой, найдем ее ключевые характеристики:

• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля.
• Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$: $x_v = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2} = -1.5$ $y_v = f(-1.5) = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$ Вершина находится в точке $(-1.5, -6.25)$.
• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 + 3x - 4 = 0$ $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$ $x_1 = \frac{-3-5}{2} = -4$ $x_2 = \frac{-3+5}{2} = 1$ Точки пересечения: $(-4, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 0^2 + 3(0) - 4 = -4$ Точка пересечения: $(0, -4)$.

Построим график функции $f(x) = x^2 + 3x - 4$.

Ответ: При $a=-4$ функция имеет вид $f(x) = x^2 + 3x - 4$. График функции — парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(-1.5, -6.25)$ и пересекающая ось Ox в точках $(-4, 0)$ и $(1, 0)$.

14.41. Два мяча подбросили вертикально вверх, и они упали на землю. На рисунке 21 изображены графики зависимости высоты расположения мячей над землей от времени полета. Используя графики, выясните, какой из мячей за первые 3 с пролетел выше и на сколько метров.

h, м

t, c

мяч 1

мяч 2

Рис. 21

Для решения задачи необходимо проанализировать представленные на рисунке графики. На них показана зависимость высоты расположения мячей над землей ($h$, в метрах) от времени полета ($t$, в секундах). Зеленая линия соответствует мячу 1, а черная линия — мячу 2. Чтобы выяснить, какой из мячей пролетел выше за первые 3 секунды и на сколько, нужно определить высоту каждого мяча в момент времени $t = 3$ с.

1. Определение высоты мяча 1. Найдём на горизонтальной оси времени отметку $t = 3$ с. Проведём мысленно вертикальную линию вверх до пересечения с зелёным графиком (мяч 1). От точки пересечения проведём горизонтальную линию влево до оси высот. Линия указывает на значение 5. Следовательно, высота мяча 1 в этот момент времени $h_1 = 5$ м.

2. Определение высоты мяча 2. Проделаем ту же операцию для мяча 2 (чёрный график). Вертикальная линия от $t = 3$ с пересекает чёрный график в точке, которой соответствует высота $h_2 = 3$ м.

3. Сравнение высот. Теперь сравним полученные значения: $h_1 = 5$ м и $h_2 = 3$ м. Так как $5 > 3$, мяч 1 за первые 3 секунды пролетел выше, чем мяч 2.

4. Нахождение разницы высот. Чтобы узнать, на сколько выше пролетел мяч 1, вычтем из его высоты высоту мяча 2:
$\Delta h = h_1 - h_2 = 5 \text{ м} - 3 \text{ м} = 2 \text{ м}$.

Ответ: за первые 3 с мяч 1 пролетел выше мяча 2 на 2 метра.

14.42. На рисунке 22 изображен график квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$. Используя график функции, выполните задания:

1) Запишите координаты вершины графика;

2) запишите уравнение оси симметрии графика функции;

3) найдите наибольшее значение функции;

4) запишите множество значений функции, если переменная $x\in[-2; 2];$

5) найдите значение выражения $2f(-4) + 5f(0) + 2f(-2) - f(4);$

6) найдите знак выражения $ab.$

Рис. 22

1) Запишите координаты вершины графика;
Вершина параболы — это ее самая высокая точка (максимум). По графику определяем ее координаты. Абсцисса (координата по оси $x$) вершины равна $-1$. Ордината (координата по оси $y$) вершины равна $4$.
Ответ: $(-1; 4)$.

2) запишите уравнение оси симметрии графика функции;
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, которая делит график на две симметричные части и проходит через вершину параболы. Уравнение такой прямой имеет вид $x=const$. Поскольку абсцисса вершины равна $-1$, то уравнение оси симметрии: $x=-1$.
Ответ: $x = -1$.

3) найдите наибольшее значение функции;
Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине. Наибольшее значение функции равно ординате вершины.
Ответ: $4$.

4) запишите множество значений функции, если переменная $x \in [-2; 2]$;
Чтобы найти множество значений функции (область значений) на заданном отрезке $x \in [-2; 2]$, нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке.
1. Находим значения функции на концах отрезка по графику: $f(-2) = 3$ и $f(2) = -5$.
2. Определяем, принадлежит ли вершина параболы данному отрезку. Абсцисса вершины $x = -1$ находится в пределах отрезка $[-2; 2]$, так как $-2 \le -1 \le 2$.
3. Наибольшее значение на отрезке равно значению в вершине, то есть $f_{наиб} = 4$.
4. Наименьшее значение на отрезке выбирается из значений на концах отрезка: $f_{наим} = \min(f(-2), f(2)) = \min(3, -5) = -5$.
Следовательно, множество значений функции на данном отрезке — это все значения от $-5$ до $4$ включительно.
Ответ: $[-5; 4]$.

5) найдите значение выражения $2f(-4) + 5f(0) + 2f(-2) - f(4)$;
Сначала найдем значения функции в указанных точках. Большинство из них можно найти по графику: $f(-4)=-5$, $f(0)=3$, $f(-2)=3$. Точка $x=4$ выходит за пределы нарисованного графика, поэтому для нахождения $f(4)$ определим формулу функции $f(x) = ax^2+bx+c$.
Используем вершинную форму параболы $f(x) = a(x-x_0)^2+y_0$. Из пункта 1, вершина $(x_0, y_0) = (-1, 4)$, значит $f(x) = a(x+1)^2+4$.
Найдем коэффициент $a$, подставив координаты любой другой точки с графика, например, $(1, 0)$:
$0 = a(1+1)^2+4 \implies 0 = 4a+4 \implies 4a = -4 \implies a = -1$.
Таким образом, формула функции: $f(x) = -(x+1)^2+4 = -x^2-2x+3$.
Теперь вычислим $f(4)$: $f(4) = -(4^2) - 2(4) + 3 = -16 - 8 + 3 = -21$.
Подставим все значения в исходное выражение:
$2f(-4) + 5f(0) + 2f(-2) - f(4) = 2(-5) + 5(3) + 2(3) - (-21) = -10 + 15 + 6 + 21 = 32$.
Ответ: $32$.

6) найдите знак выражения $ab$.
Знак коэффициента $a$ в уравнении $f(x) = ax^2+bx+c$ определяется направлением ветвей параболы. Так как ветви направлены вниз, $a < 0$.
Абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Из графика $x_0=-1$.
$-1 = -\frac{b}{2a} \implies 1 = \frac{b}{2a} \implies b=2a$.
Поскольку $a$ — отрицательное число ($a<0$), то $b$, равное удвоенному $a$, также будет отрицательным ($b<0$).
Произведение двух отрицательных чисел ($a$ и $b$) является положительным числом.
Ответ: знак выражения $ab$ — плюс (положительный).

14.43. Составьте текстовую задачу и решите ее, используя математическую модель:

1) $n = 4 - 0,3x(x + 5)$;

2) $\frac{1}{12} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 8}$.

1)

Текстовая задача: Прибыль предприятия `n` (в миллионах условных единиц) от производства `x` тысяч единиц продукции описывается моделью $n = 4 - 0,3x(x + 5)$. При каком объеме производства `x` предприятие достигнет точки безубыточности (то есть, его прибыль будет равна нулю)?

Решение: Чтобы найти точку безубыточности, необходимо приравнять прибыль `n` к нулю и решить полученное уравнение относительно `x`.

$0 = 4 - 0,3x(x + 5)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$0,3x(x + 5) = 4$

$0,3x^2 + 1,5x - 4 = 0$

Для удобства решения умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$3x^2 + 15x - 40 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=3$, $b=15$, $c=-40$. Решим его с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 225 + 480 = 705$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm \sqrt{705}}{2 \cdot 3} = \frac{-15 \pm \sqrt{705}}{6}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-15 - \sqrt{705}}{6}$ и $x_2 = \frac{-15 + \sqrt{705}}{6}$.

Поскольку `x` представляет собой объем производства, эта величина не может быть отрицательной. Корень $x_1$ является отрицательным числом. Корень $x_2$ является положительным, так как $\sqrt{705} > \sqrt{225} = 15$.

Следовательно, единственным решением, имеющим экономический смысл, является $x = \frac{-15 + \sqrt{705}}{6}$.

Ответ: предприятие достигнет точки безубыточности при объеме производства $x = \frac{\sqrt{705} - 15}{6}$ тысяч единиц продукции.

2)

Текстовая задача: Два насоса, работая вместе, наполняют бассейн за 12 часов. Известно, что первый насос, работая один, может наполнить бассейн на 8 часов быстрее, чем второй. За сколько часов каждый насос наполнит бассейн, работая в одиночку?

Решение: Пусть $x$ часов – время, за которое первый (более быстрый) насос наполняет бассейн.

Тогда второй насос наполняет бассейн за $(x + 8)$ часов.

Производительность первого насоса равна $\frac{1}{x}$ (часть бассейна в час), а второго – $\frac{1}{x+8}$ (часть бассейна в час).

Работая вместе, их общая производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+8}$.

По условию, вместе они наполняют бассейн за 12 часов, значит, их общая производительность равна $\frac{1}{12}$.

Составим математическую модель (уравнение):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю. Область допустимых значений $x > 0$.

$\frac{x+8+x}{x(x+8)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2x+8}{x^2+8x} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$12(2x+8) = x^2+8x$

$24x + 96 = x^2 + 8x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 16x - 96 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 256 + 384 = 640$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{640}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm \sqrt{64 \cdot 10}}{2} = \frac{16 \pm 8\sqrt{10}}{2} = 8 \pm 4\sqrt{10}$

Получаем два корня: $x_1 = 8 + 4\sqrt{10}$ и $x_2 = 8 - 4\sqrt{10}$.

Поскольку время $x$ не может быть отрицательным, проверим знаки корней. $4\sqrt{10} = \sqrt{160}$, а $8 = \sqrt{64}$, поэтому $8 - 4\sqrt{10} < 0$. Этот корень не подходит по смыслу задачи.

Единственное подходящее решение: $x = 8 + 4\sqrt{10}$ часов. Это время работы первого насоса.

Время работы второго насоса: $x + 8 = (8 + 4\sqrt{10}) + 8 = 16 + 4\sqrt{10}$ часов.

Ответ: первый насос наполнит бассейн за $(8 + 4\sqrt{10})$ часов, а второй – за $(16 + 4\sqrt{10})$ часов.