Страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.1. Проходит ли график функции $f(x) = 2x^2 - x - 4$ через точки:

1) A (-2; 6);

2) B (-1,5; 2);

3) C (-1; -3);

4) M (1; -3);

5) K (2; 2);

6) P (4; 22,5)?

Для того чтобы определить, проходит ли график функции $f(x) = 2x^2 - x - 4$ через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки абсциссы $x_0$ значение функции $f(x_0)$ будет равно ординате $y_0$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

1) A(-2; 6);

Чтобы проверить, проходит ли график функции через точку $A(-2; 6)$, необходимо подставить абсциссу точки ($x=-2$) в уравнение функции и сравнить полученный результат с ординатой точки ($y=6$).

Выполним вычисление: $f(-2) = 2(-2)^2 - (-2) - 4 = 2 \cdot 4 + 2 - 4 = 8 + 2 - 4 = 6$.

Поскольку вычисленное значение функции $f(-2) = 6$ равно ординате точки A, то точка A лежит на графике функции.

Ответ: да, проходит.

2) B(-1,5; 2);

Проверим, проходит ли график через точку $B(-1,5; 2)$. Подставим $x = -1.5$ в уравнение функции.

Выполним вычисление: $f(-1.5) = 2(-1.5)^2 - (-1.5) - 4 = 2 \cdot 2.25 + 1.5 - 4 = 4.5 + 1.5 - 4 = 6 - 4 = 2$.

Поскольку $f(-1.5) = 2$, что совпадает с ординатой точки B, то точка B лежит на графике функции.

Ответ: да, проходит.

3) C(-1; -3);

Проверим, проходит ли график через точку $C(-1; -3)$. Подставим $x = -1$ в уравнение функции.

Выполним вычисление: $f(-1) = 2(-1)^2 - (-1) - 4 = 2 \cdot 1 + 1 - 4 = 3 - 4 = -1$.

Поскольку вычисленное значение $f(-1) = -1$ не равно ординате точки C, которая равна -3 ($-1 \neq -3$), то точка C не лежит на графике функции.

Ответ: нет, не проходит.

4) M(1; -3);

Проверим, проходит ли график через точку $M(1; -3)$. Подставим $x = 1$ в уравнение функции.

Выполним вычисление: $f(1) = 2(1)^2 - 1 - 4 = 2 \cdot 1 - 1 - 4 = 2 - 5 = -3$.

Поскольку $f(1) = -3$, что совпадает с ординатой точки M, то точка M лежит на графике функции.

Ответ: да, проходит.

5) K(2; 2);

Проверим, проходит ли график через точку $K(2; 2)$. Подставим $x = 2$ в уравнение функции.

Выполним вычисление: $f(2) = 2(2)^2 - 2 - 4 = 2 \cdot 4 - 2 - 4 = 8 - 6 = 2$.

Поскольку $f(2) = 2$, что совпадает с ординатой точки K, то точка K лежит на графике функции.

Ответ: да, проходит.

6) P(4; 22,5)?

Проверим, проходит ли график через точку $P(4; 22,5)$. Подставим $x = 4$ в уравнение функции.

Выполним вычисление: $f(4) = 2(4)^2 - 4 - 4 = 2 \cdot 16 - 8 = 32 - 8 = 24$.

Поскольку вычисленное значение $f(4) = 24$ не равно ординате точки P, которая равна 22,5 ($24 \neq 22.5$), то точка P не лежит на графике функции.

Ответ: нет, не проходит.

14.2. Выделите квадрат двучлена для функции f(x):

1) $f(x) = 2x^2 + 2x - 5;$

2) $f(x) = 3x^2 - x + 2;$

3) $f(x) = 4x^2 - 2x + 4;$

4) $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - x - 4\frac{1}{3};$

5) $f(x) = 2\frac{1}{3}x^2 - 3x + 4\frac{1}{3};$

6) $f(x) = \frac{2}{7}x^2 - \frac{1}{7}x - 4\frac{1}{7}.$

1) Для функции $f(x) = 2x^2 + 2x - 5$ выполним преобразования для выделения полного квадрата. Сначала вынесем за скобки коэффициент 2 при $x^2$:
$f(x) = 2(x^2 + x) - 5$
Дополним выражение в скобках до полного квадрата, прибавив и отняв $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:
$f(x) = 2(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 5$
Свернем квадрат суммы и раскроем внешние скобки:
$f(x) = 2((x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 5 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} - 5$
Упростим константы:
$f(x) = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 5 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{11}{2}$.
Ответ: $f(x) = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{11}{2}$.

2) Для функции $f(x) = 3x^2 - x + 2$ выполним преобразования:
$f(x) = 3(x^2 - \frac{1}{3}x) + 2$
$f(x) = 3(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2 - (\frac{1}{6})^2) + 2$
$f(x) = 3((x - \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{36}) + 2 = 3(x - \frac{1}{6})^2 - 3 \cdot \frac{1}{36} + 2$
$f(x) = 3(x - \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12} + 2 = 3(x - \frac{1}{6})^2 + \frac{23}{12}$.
Ответ: $f(x) = 3(x - \frac{1}{6})^2 + \frac{23}{12}$.

3) Для функции $f(x) = 4x^2 - 2x + 4$ выполним преобразования:
$f(x) = 4(x^2 - \frac{1}{2}x) + 4$
$f(x) = 4(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2) + 4$
$f(x) = 4((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) + 4 = 4(x - \frac{1}{4})^2 - 4 \cdot \frac{1}{16} + 4$
$f(x) = 4(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 4 = 4(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{15}{4}$.
Ответ: $f(x) = 4(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{15}{4}$.

4) Для функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - x - 4\frac{1}{3}$ сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$.
$f(x) = \frac{2}{3}x^2 - x - \frac{13}{3}$.
Выполним преобразования для выделения полного квадрата:
$f(x) = \frac{2}{3}(x^2 - \frac{3}{2}x) - \frac{13}{3} = \frac{2}{3}(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) - \frac{13}{3}$
$f(x) = \frac{2}{3}((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) - \frac{13}{3} = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{16} - \frac{13}{3}$
$f(x) = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{3}{8} - \frac{13}{3} = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{24} - \frac{104}{24} = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{113}{24}$.
Ответ: $f(x) = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{113}{24}$.

5) Для функции $f(x) = 2\frac{1}{3}x^2 - 3x + 4\frac{1}{3}$ сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ и $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$.
$f(x) = \frac{7}{3}x^2 - 3x + \frac{13}{3}$.
Выполним преобразования для выделения полного квадрата:
$f(x) = \frac{7}{3}(x^2 - \frac{9}{7}x) + \frac{13}{3} = \frac{7}{3}(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{9}{14} + (\frac{9}{14})^2 - (\frac{9}{14})^2) + \frac{13}{3}$
$f(x) = \frac{7}{3}((x - \frac{9}{14})^2 - \frac{81}{196}) + \frac{13}{3} = \frac{7}{3}(x - \frac{9}{14})^2 - \frac{7}{3} \cdot \frac{81}{196} + \frac{13}{3}$
$f(x) = \frac{7}{3}(x - \frac{9}{14})^2 - \frac{27}{28} + \frac{13}{3} = \frac{7}{3}(x - \frac{9}{14})^2 - \frac{81}{84} + \frac{364}{84} = \frac{7}{3}(x - \frac{9}{14})^2 + \frac{283}{84}$.
Ответ: $f(x) = \frac{7}{3}(x - \frac{9}{14})^2 + \frac{283}{84}$.

6) Для функции $f(x) = \frac{2}{7}x^2 - \frac{1}{7}x - 4\frac{1}{7}$ сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $4\frac{1}{7} = \frac{29}{7}$.
$f(x) = \frac{2}{7}x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{29}{7}$.
Выполним преобразования для выделения полного квадрата:
$f(x) = \frac{2}{7}(x^2 - \frac{1}{2}x) - \frac{29}{7} = \frac{2}{7}(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2) - \frac{29}{7}$
$f(x) = \frac{2}{7}((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) - \frac{29}{7} = \frac{2}{7}(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{16} - \frac{29}{7}$
$f(x) = \frac{2}{7}(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{56} - \frac{29}{7} = \frac{2}{7}(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{56} - \frac{232}{56} = \frac{2}{7}(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{233}{56}$.
Ответ: $f(x) = \frac{2}{7}(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{233}{56}$.

14.3. Постройте график функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 + x - 4\frac{1}{3}$ и найдите ординату точки, лежащей на графике, абсцисса которой равна:

1) -2;

2) -3;

3) 0;

4) 1,5;

5) 2;

6) 3.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 + x - 4\frac{1}{3}$ определим ключевые параметры. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{2}{3} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot \frac{2}{3}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} = -0.75$.

Ордината вершины $y_0 = f(x_0) = f(-\frac{3}{4})$:

$y_0 = \frac{2}{3}(-\frac{3}{4})^2 + (-\frac{3}{4}) - \frac{13}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{16} - \frac{3}{4} - \frac{13}{3} = \frac{3}{8} - \frac{6}{8} - \frac{104}{24} = \frac{9-18-104}{24} = -\frac{113}{24} = -4\frac{17}{24} \approx -4.71$.

Вершина параболы находится в точке $(-0.75; -4\frac{17}{24})$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $f(0) = \frac{2}{3}(0)^2 + 0 - 4\frac{1}{3} = -4\frac{1}{3}$. Точка $(0; -4\frac{1}{3})$.

Пересечение с осью Ox (при $f(x)=0$): $\frac{2}{3}x^2 + x - \frac{13}{3} = 0$. Умножим на 3, чтобы избавиться от дробей: $2x^2 + 3x - 13 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-13) = 9 + 104 = 113$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{113}}{4}$.

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{113}}{4} \approx -3.4$, $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{113}}{4} \approx 1.9$.

3. Составим таблицу значений для нескольких точек, включая заданные в условии.

$x = -3, y = -1\frac{1}{3}$
$x = -2, y = -3\frac{2}{3}$
$x = 0, y = -4\frac{1}{3}$
$x = 1.5, y = -1\frac{1}{3}$
$x = 2, y = \frac{1}{3}$
$x = 3, y = 4\frac{2}{3}$

На основе этих данных строим график функции:

Теперь найдем ординаты (значения функции $f(x)$) для заданных абсцисс (значений $x$).

1) Для $x = -2$ ордината равна: $f(-2) = \frac{2}{3}(-2)^2 + (-2) - 4\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 4 - 2 - \frac{13}{3} = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} - \frac{13}{3} = \frac{8-6-13}{3} = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3}$.Ответ: $-3\frac{2}{3}$.

2) Для $x = -3$ ордината равна: $f(-3) = \frac{2}{3}(-3)^2 + (-3) - 4\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 9 - 3 - \frac{13}{3} = 6 - 3 - \frac{13}{3} = 3 - \frac{13}{3} = \frac{9-13}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.Ответ: $-1\frac{1}{3}$.

3) Для $x = 0$ ордината равна: $f(0) = \frac{2}{3}(0)^2 + 0 - 4\frac{1}{3} = -4\frac{1}{3}$.Ответ: $-4\frac{1}{3}$.

4) Для $x = 1,5$ ордината равна: $f(1,5) = f(\frac{3}{2}) = \frac{2}{3}(\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} - 4\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} - \frac{13}{3} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{13}{3} = 3 - \frac{13}{3} = \frac{9-13}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.Ответ: $-1\frac{1}{3}$.

5) Для $x = 2$ ордината равна: $f(2) = \frac{2}{3}(2)^2 + 2 - 4\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 4 + 2 - \frac{13}{3} = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} - \frac{13}{3} = \frac{8+6-13}{3} = \frac{1}{3}$.Ответ: $\frac{1}{3}$.

6) Для $x = 3$ ордината равна: $f(3) = \frac{2}{3}(3)^2 + 3 - 4\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 9 + 3 - \frac{13}{3} = 6 + 3 - \frac{13}{3} = 9 - \frac{13}{3} = \frac{27-13}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$.Ответ: $4\frac{2}{3}$.

Выделив квадрат двучлена, постройте графики функций f(x) (14.4–14.7):

14.4. 1) $f(x) = 2x^2 + 2x - 4$;

2) $f(x) = 3x^2 - x - 5$;

3) $f(x) = 4x^2 - x - 2$.

1) f(x) = 2x² + 2x - 4;
Для построения графика функции выделим полный квадрат. Это позволит нам представить функцию в виде $a(x-h)² + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.
1. Вынесем коэффициент 2 за скобки у членов, содержащих $x$:
$f(x) = 2(x² + x) - 4$
2. Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$. Коэффициент при $x$ равен 1, его половина — $1/2$, а квадрат половины — $(1/2)² = 1/4$.
$f(x) = 2(x² + x + 1/4 - 1/4) - 4$
3. Свернем полный квадрат по формуле $(a+b)² = a² + 2ab + b²$:
$f(x) = 2((x + 1/2)² - 1/4) - 4$
4. Раскроем скобки и упростим выражение:
$f(x) = 2(x + 1/2)² - 2 \cdot (1/4) - 4$
$f(x) = 2(x + 1/2)² - 1/2 - 4$
$f(x) = 2(x + 1/2)² - 9/2$
Итак, мы получили функцию в виде $f(x) = 2(x - (-1/2))² - 4.5$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент $a=2 > 0$). Вершина параболы находится в точке с координатами $(h, k) = (-1/2, -9/2)$ или $(-0.5, -4.5)$.
График этой функции можно получить из графика базовой параболы $y = 2x²$ путем сдвига на $0.5$ единиц влево по оси $Ox$ и на $4.5$ единиц вниз по оси $Oy$.

Ответ: $f(x) = 2(x + 1/2)² - 9/2$.

2) f(x) = 3x² - x - 5;
Выделим полный квадрат для данной функции.
1. Вынесем коэффициент 3 за скобки:
$f(x) = 3(x² - 1/3 x) - 5$
2. Коэффициент при $x$ равен $-1/3$. Его половина — $-1/6$, квадрат половины — $(-1/6)² = 1/36$. Прибавим и вычтем $1/36$ в скобках.
$f(x) = 3(x² - 1/3 x + 1/36 - 1/36) - 5$
3. Свернем полный квадрат по формуле $(a-b)² = a² - 2ab + b²$ (здесь $2ab = 2 \cdot x \cdot 1/6 = 1/3 x$):
$f(x) = 3((x - 1/6)² - 1/36) - 5$
4. Раскроем скобки и упростим:
$f(x) = 3(x - 1/6)² - 3 \cdot (1/36) - 5$
$f(x) = 3(x - 1/6)² - 1/12 - 5$
$f(x) = 3(x - 1/6)² - 1/12 - 60/12$
$f(x) = 3(x - 1/6)² - 61/12$
Получили параболу с ветвями вверх ($a=3 > 0$). Вершина находится в точке $(h, k) = (1/6, -61/12)$. Приближенные значения: $(0.17, -5.08)$.
График этой функции можно получить из графика $y = 3x²$ сдвигом на $1/6$ единиц вправо по оси $Ox$ и на $61/12$ единиц вниз по оси $Oy$.

Ответ: $f(x) = 3(x - 1/6)² - 61/12$.

3) f(x) = 4x² - x - 2.
Выделим полный квадрат.
1. Вынесем коэффициент 4 за скобки:
$f(x) = 4(x² - 1/4 x) - 2$
2. Коэффициент при $x$ равен $-1/4$. Его половина — $-1/8$, квадрат половины — $(-1/8)² = 1/64$. Прибавим и вычтем $1/64$ в скобках.
$f(x) = 4(x² - 1/4 x + 1/64 - 1/64) - 2$
3. Свернем полный квадрат по формуле $(a-b)² = a² - 2ab + b²$ (здесь $2ab = 2 \cdot x \cdot 1/8 = 1/4 x$):
$f(x) = 4((x - 1/8)² - 1/64) - 2$
4. Раскроем скобки и упростим:
$f(x) = 4(x - 1/8)² - 4 \cdot (1/64) - 2$
$f(x) = 4(x - 1/8)² - 1/16 - 2$
$f(x) = 4(x - 1/8)² - 1/16 - 32/16$
$f(x) = 4(x - 1/8)² - 33/16$
Получили параболу с ветвями вверх ($a=4 > 0$). Вершина находится в точке $(h, k) = (1/8, -33/16)$. Приближенные значения: $(0.125, -2.0625)$.
График этой функции можно получить из графика $y = 4x²$ сдвигом на $1/8$ единиц вправо по оси $Ox$ и на $33/16$ единиц вниз по оси $Oy$.

Ответ: $f(x) = 4(x - 1/8)² - 33/16$.

14.5. 1) $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 2x - 2\frac{1}{3};$

2) $f(x) = 2x^2 - 10x + 1;$

3) $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - 3x - 3\frac{1}{3}.$

1) Для нахождения нулей функции $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 2x - 2\frac{1}{3}$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

Сначала преобразуем смешанную дробь $2\frac{1}{3}$ в неправильную: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Уравнение примет вид:

$\frac{1}{3}x^2 - 2x - \frac{7}{3} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на 3:

$3 \cdot \left(\frac{1}{3}x^2 - 2x - \frac{7}{3}\right) = 3 \cdot 0$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Получили приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $\Delta = b^2 - 4ac$.

$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 7$.

2) Для нахождения нулей функции $f(x) = 2x^2 - 10x + 1$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$2x^2 - 10x + 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $\Delta = b^2 - 4ac$.

$\Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 100 - 8 = 92$

Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{92}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm \sqrt{4 \cdot 23}}{4} = \frac{10 \pm 2\sqrt{23}}{4}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{23}}{2}$

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{23}}{2}; \frac{5 + \sqrt{23}}{2}$.

3) Для нахождения нулей функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - 3x - 3\frac{1}{3}$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

Сначала преобразуем смешанную дробь $3\frac{1}{3}$ в неправильную: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Уравнение примет вид:

$\frac{2}{3}x^2 - 3x - \frac{10}{3} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на 3:

$3 \cdot \left(\frac{2}{3}x^2 - 3x - \frac{10}{3}\right) = 3 \cdot 0$

$2x^2 - 9x - 10 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $\Delta = b^2 - 4ac$.

$\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 81 + 80 = 161$

Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm \sqrt{161}}{4}$

Ответ: $\frac{9 - \sqrt{161}}{4}; \frac{9 + \sqrt{161}}{4}$.

14.6.

1) $f(x) = -2x^2 + 2x - 4;$

2) $f(x) = -3x^2 + 2x - 5;$

3) $f(x) = -2x^2 - 3x - 2,5.$

Поскольку в задании даны квадратичные функции с отрицательным старшим коэффициентом, наиболее вероятной задачей является нахождение их наибольшего значения.

1) $f(x) = -2x^2 + 2x - 4$

Данная функция является квадратичной функцией вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a = -2$, $b = 2$, $c = -4$. График этой функции — парабола.

Поскольку коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = f(x_0)$

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = -\frac{2}{-4} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наибольшим значением функции:

$y_0 = f(0,5) = -2(0,5)^2 + 2(0,5) - 4 = -2(0,25) + 1 - 4 = -0,5 + 1 - 4 = -3,5$.

Таким образом, наибольшее значение функции равно $-3,5$ и достигается при $x = 0,5$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-3,5$.

2) $f(x) = -3x^2 + 2x - 5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -3$, $b = 2$, $c = -5$.

Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{2}{-6} = \frac{1}{3}$.

Найдем наибольшее значение функции, вычислив значение функции в точке $x_0 = \frac{1}{3}$:

$y_0 = f(\frac{1}{3}) = -3(\frac{1}{3})^2 + 2(\frac{1}{3}) - 5 = -3(\frac{1}{9}) + \frac{2}{3} - 5 = -\frac{3}{9} + \frac{2}{3} - 5 = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 5 = \frac{1}{3} - 5 = \frac{1}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{14}{3}$.

Наибольшее значение функции равно $-\frac{14}{3}$ (или $-4\frac{2}{3}$) и достигается при $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-\frac{14}{3}$.

3) $f(x) = -2x^2 - 3x - 2,5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -2$, $b = -3$, $c = -2,5$.

Поскольку $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз, значит функция имеет наибольшее значение в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{-3}{-4} = -\frac{3}{4} = -0,75$.

Найдем наибольшее значение функции, подставив $x_0 = -0,75$ в уравнение функции:

$y_0 = f(-0,75) = -2(-0,75)^2 - 3(-0,75) - 2,5 = -2(0,5625) + 2,25 - 2,5 = -1,125 + 2,25 - 2,5 = 1,125 - 2,5 = -1,375$.

Наибольшее значение функции равно $-1,375$ (или $-\frac{11}{8}$) и достигается при $x = -0,75$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-1,375$.

14.7. 1) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + 4\frac{1}{3}$;

2) $f(x) = -\frac{2}{5}x^2 - 2x + \frac{1}{5}$;

3) $f(x) = -\frac{2}{3}x^2 - 3x + 3\frac{1}{3}$.

1) Дана функция $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + 4\frac{1}{3}$.

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$. Перепишем смешанную дробь в виде неправильной: $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$. Таким образом, $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + \frac{13}{3}$. Коэффициенты: $a = -\frac{1}{3}$, $b = -2$, $c = \frac{13}{3}$.

Графиком функции является парабола. Так как коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{-2}{-\frac{2}{3}} = -3$.

Ордината вершины: $y_v = f(x_v) = f(-3) = -\frac{1}{3}(-3)^2 - 2(-3) + \frac{13}{3} = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 + \frac{13}{3} = -3 + 6 + \frac{13}{3} = 3 + \frac{13}{3} = \frac{9+13}{3} = \frac{22}{3}$.

Итак, вершина параболы находится в точке $(-3, \frac{22}{3})$. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = -3$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью OY (x=0): $f(0) = -\frac{1}{3}(0)^2 - 2(0) + \frac{13}{3} = \frac{13}{3}$. Точка пересечения: $(0, \frac{13}{3})$.

Пересечение с осью OX (y=0), то есть корни функции. Решим уравнение $f(x) = 0$:
$-\frac{1}{3}x^2 - 2x + \frac{13}{3} = 0$.
Умножим обе части на -3, чтобы избавиться от дробей: $x^2 + 6x - 13 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 36 + 52 = 88$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{88}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{22}}{2} = -3 \pm \sqrt{22}$.
Точки пересечения с осью OX: $(-3 - \sqrt{22}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{22}, 0)$.

Промежутки знакопостоянства: так как ветви параболы направлены вниз, функция положительна между корнями и отрицательна вне этого интервала.
$f(x) > 0$ при $x \in (-3 - \sqrt{22}, -3 + \sqrt{22})$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -3 - \sqrt{22}) \cup (-3 + \sqrt{22}, \infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает до вершины и убывает после нее.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, -3)$.
Функция убывает на промежутке $(-3, \infty)$.

Область значений функции: $(-\infty, y_v] = (-\infty, \frac{22}{3}]$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке $(-3, \frac{22}{3})$. Ось симметрии: $x = -3$. Корни функции: $x_1 = -3 - \sqrt{22}$, $x_2 = -3 + \sqrt{22}$. Точка пересечения с осью OY: $(0, \frac{13}{3})$. Функция возрастает на $(-\infty, -3)$ и убывает на $(-3, \infty)$. Область значений: $(-\infty, \frac{22}{3}]$.

2) Дана функция $f(x) = -\frac{2}{5}x^2 - 2x + \frac{1}{5}$.

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -\frac{2}{5}$, $b = -2$, $c = \frac{1}{5}$.

Графиком является парабола. Так как $a = -\frac{2}{5} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{2}{5})} = -\frac{-2}{-\frac{4}{5}} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$.

Ордината вершины: $y_v = f(-\frac{5}{2}) = -\frac{2}{5}(-\frac{5}{2})^2 - 2(-\frac{5}{2}) + \frac{1}{5} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{4} + 5 + \frac{1}{5} = -\frac{5}{2} + 5 + \frac{1}{5} = \frac{5}{2} + \frac{1}{5} = \frac{25+2}{10} = \frac{27}{10}$.

Вершина параболы: $(-\frac{5}{2}, \frac{27}{10})$. Ось симметрии: $x = -\frac{5}{2}$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью OY (x=0): $f(0) = \frac{1}{5}$. Точка пересечения: $(0, \frac{1}{5})$.

Пересечение с осью OX (y=0). Решим уравнение $-\frac{2}{5}x^2 - 2x + \frac{1}{5} = 0$.
Умножим обе части на -5: $2x^2 + 10x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 100 + 8 = 108$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{108}}{4} = \frac{-10 \pm 6\sqrt{3}}{4} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{3}}{2}$.
Точки пересечения с осью OX: $(\frac{-5 - 3\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $(\frac{-5 + 3\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (\frac{-5 - 3\sqrt{3}}{2}, \frac{-5 + 3\sqrt{3}}{2})$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, \frac{-5 - 3\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{-5 + 3\sqrt{3}}{2}, \infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty, -\frac{5}{2})$ и убывает на $(-\frac{5}{2}, \infty)$.

Область значений функции: $(-\infty, \frac{27}{10}]$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке $(-\frac{5}{2}, \frac{27}{10})$. Ось симметрии: $x = -\frac{5}{2}$. Корни функции: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{3}}{2}$. Точка пересечения с осью OY: $(0, \frac{1}{5})$. Функция возрастает на $(-\infty, -\frac{5}{2})$ и убывает на $(-\frac{5}{2}, \infty)$. Область значений: $(-\infty, \frac{27}{10}]$.

3) Дана функция $f(x) = -\frac{2}{3}x^2 - 3x + 3\frac{1}{3}$.

Перепишем функцию: $f(x) = -\frac{2}{3}x^2 - 3x + \frac{10}{3}$. Коэффициенты: $a = -\frac{2}{3}$, $b = -3$, $c = \frac{10}{3}$.

Графиком является парабола. Так как $a = -\frac{2}{3} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-\frac{2}{3})} = -\frac{-3}{-\frac{4}{3}} = -\frac{9}{4}$.

Ордината вершины: $y_v = f(-\frac{9}{4}) = -\frac{2}{3}(-\frac{9}{4})^2 - 3(-\frac{9}{4}) + \frac{10}{3} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{81}{16} + \frac{27}{4} + \frac{10}{3} = -\frac{27}{8} + \frac{27}{4} + \frac{10}{3} = \frac{-81 + 162 + 80}{24} = \frac{161}{24}$.

Вершина параболы: $(-\frac{9}{4}, \frac{161}{24})$. Ось симметрии: $x = -\frac{9}{4}$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью OY (x=0): $f(0) = \frac{10}{3}$. Точка пересечения: $(0, \frac{10}{3})$.

Пересечение с осью OX (y=0). Решим уравнение $-\frac{2}{3}x^2 - 3x + \frac{10}{3} = 0$.
Умножим обе части на -3: $2x^2 + 9x - 10 = 0$.
Дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 81 + 80 = 161$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{161}}{4}$.
Точки пересечения с осью OX: $(\frac{-9 - \sqrt{161}}{4}, 0)$ и $(\frac{-9 + \sqrt{161}}{4}, 0)$.

Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (\frac{-9 - \sqrt{161}}{4}, \frac{-9 + \sqrt{161}}{4})$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, \frac{-9 - \sqrt{161}}{4}) \cup (\frac{-9 + \sqrt{161}}{4}, \infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty, -\frac{9}{4})$ и убывает на $(-\frac{9}{4}, \infty)$.

Область значений функции: $(-\infty, \frac{161}{24}]$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке $(-\frac{9}{4}, \frac{161}{24})$. Ось симметрии: $x = -\frac{9}{4}$. Корни функции: $x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{161}}{4}$. Точка пересечения с осью OY: $(0, \frac{10}{3})$. Функция возрастает на $(-\infty, -\frac{9}{4})$ и убывает на $(-\frac{9}{4}, \infty)$. Область значений: $(-\infty, \frac{161}{24}]$.

14.8. Постройте график функции $f(x) = -2x^2 - x + 5$ и, используя график, найдите:

1) значение функции при $x = -0,3$; $1,2$; $3$;

2) значение аргумента $x$, при котором $f(x) = 5$; $2$; $-1$;

3) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

4) вершину параболы и ось симметрии.

Для построения графика функции $f(x) = -2x^2 - x + 5$ и нахождения требуемых значений, выполним следующие шаги.Сначала построим график. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент $a = -2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

Для построения найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам:
   $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-2)} = -0.25$.
   $y_v = f(x_v) = -2(-0.25)^2 - (-0.25) + 5 = -2(0.0625) + 0.25 + 5 = -0.125 + 5.25 = 5.125$.
   Таким образом, вершина находится в точке $(-0.25; 5.125)$.
2. Ось симметрии. Это вертикальная прямая, проходящая через вершину: $x = -0.25$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   С осью OY (при $x=0$): $f(0) = -2(0)^2 - 0 + 5 = 5$. Точка $(0; 5)$.
   С осью OX (нули функции, при $f(x)=0$): $-2x^2 - x + 5 = 0$. Решим уравнение $2x^2 + x - 5 = 0$.
   $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 41$.
   $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}$.
   $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{4} \approx -1.85$. Точка $(-1.85; 0)$.
   $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{4} \approx 1.35$. Точка $(1.35; 0)$.
4. Дополнительные точки.
   • $f(1) = -2(1)^2 - 1 + 5 = 2$. Точка $(1; 2)$.
   • $f(-2) = -2(-2)^2 - (-2) + 5 = -1$. Точка $(-2; -1)$.
   • $f(2) = -2(2)^2 - 2 + 5 = -5$. Точка $(2; -5)$.
   • $f(-3) = -2(-3)^2 - (-3) + 5 = -16$. Точка $(-3; -16)$.

На основе этих данных строим график функции.

Теперь, используя график, ответим на вопросы задачи.

1) значение функции при x = -0,3; 1,2; 3;

На графике находим точки, абсциссы которых равны заданным значениям (отмечены зеленым цветом). Ординаты этих точек будут искомыми значениями функции.

• При $x = -0,3$, значение функции $y \approx 5,1$.
• При $x = 1,2$, значение функции $y \approx 0,9$.
• При $x = 3$, значение функции $y = -16$.

Ответ: При $x = -0,3$, $f(x) \approx 5,1$; при $x = 1,2$, $f(x) \approx 0,9$; при $x = 3$, $f(x) = -16$.

2) значение аргумента x, при котором f(x) = 5; 2; -1;

На графике проводим горизонтальные прямые $y=5$, $y=2$ и $y=-1$ (отмечены фиолетовым цветом). Абсциссы точек пересечения этих прямых с параболой являются искомыми значениями аргумента.

• Прямая $y=5$ пересекает график в точках с абсциссами $x = -0,5$ и $x = 0$.
• Прямая $y=2$ пересекает график в точках с абсциссами $x = -1,5$ и $x = 1$.
• Прямая $y=-1$ пересекает график в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 1,5$.

Ответ: $f(x)=5$ при $x=-0,5$ и $x=0$; $f(x)=2$ при $x=-1,5$ и $x=1$; $f(x)=-1$ при $x=-2$ и $x=1,5$.

3) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

Нули функции – это значения $x$, при которых график пересекает ось OX. Из графика видно, что это происходит примерно в точках $x \approx -1,85$ и $x \approx 1,35$. Это подтверждается расчетом корней уравнения $-2x^2 - x + 5 = 0$.
Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак.

• $f(x) > 0$ (график выше оси OX) при $x \in (-1,85; 1,35)$.
• $f(x) < 0$ (график ниже оси OX) при $x \in (-\infty; -1,85) \cup (1,35; \infty)$.

Ответ: Нули функции: $x \approx -1,85$ и $x \approx 1,35$. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $x \in (-1,85; 1,35)$; $f(x)<0$ при $x \in (-\infty; -1,85) \cup (1,35; \infty)$.

4) вершину параболы и ось симметрии.

Эти параметры были найдены на этапе построения графика.

• Вершина параболы (самая высокая точка на графике) имеет координаты $(-0,25; 5,125)$. На графике она отмечена красной точкой.
• Ось симметрии — это вертикальная прямая, делящая параболу на две симметричные части. Ее уравнение $x = -0,25$. На графике она показана красной пунктирной линией.

Ответ: Вершина параболы: $(-0,25; 5,125)$. Ось симметрии: $x = -0,25$.

14.9. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 4x - 1$ и, используя график, найдите:

1) значение функции при $x = -0,4; 2,1; 3;$

2) значение аргумента $x$, при котором $f(x) = 6; 3; -2;$

3) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

4) вершину параболы и ось симметрии.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 - 4x - 1$ найдем ключевые характеристики параболы.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

Координата $x_v$ вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Координата $y_v$ вершины: $y_v = f(x_v) = f(2) = 2^2 - 4(2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -5)$.

Ось симметрии параболы:

Это вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x = 2$.

Точки пересечения с осями координат:

Пересечение с осью Oy (x=0): $f(0) = 0^2 - 4(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.

Пересечение с осью Ox (нули функции, f(x)=0): $x^2 - 4x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

$x_1 = 2 - \sqrt{5} \approx -0.24$, $x_2 = 2 + \sqrt{5} \approx 4.24$.

Точки $(-0.24, 0)$ и $(4.24, 0)$.

Составим таблицу значений для построения:

$x=0 \implies y=-1$
$x=1 \implies y = 1^2 - 4(1) - 1 = -4$
$x=2 \implies y = -5$ (вершина)
$x=3 \implies y = 3^2 - 4(3) - 1 = -4$
$x=4 \implies y = 4^2 - 4(4) - 1 = -1$
$x=5 \implies y = 5^2 - 4(5) - 1 = 4$
$x=-1 \implies y = (-1)^2 - 4(-1) - 1 = 4$

Построим график функции, используя эти данные.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

1) значение функции при x = -0,4; 2,1; 3;

Чтобы найти значение функции по графику, нужно найти на оси Ox заданное значение аргумента, провести вертикальную линию до пересечения с графиком и затем провести горизонтальную линию до оси Oy, чтобы определить значение функции.

• При $x = -0.4$: находим на графике точку с абсциссой -0.4. Ее ордината примерно равна $0.8$. Точный расчет: $f(-0.4) = (-0.4)^2 - 4(-0.4) - 1 = 0.16 + 1.6 - 1 = 0.76$.
• При $x = 2.1$: находим точку с абсциссой 2.1. Она находится очень близко к вершине, ее ордината примерно равна $-5$. Точный расчет: $f(2.1) = (2.1)^2 - 4(2.1) - 1 = 4.41 - 8.4 - 1 = -4.99$.
• При $x = 3$: находим точку с абсциссой 3. Ее ордината равна $-4$. Это одна из точек, по которым строился график.

Ответ: $f(-0.4) \approx 0.8$; $f(2.1) \approx -5$; $f(3) = -4$.

2) значение аргумента x, при котором f(x) = 6; 3; -2;

Чтобы найти значения аргумента по графику, нужно провести горизонтальную прямую на уровне заданного значения функции и найти абсциссы точек пересечения этой прямой с параболой.

• $f(x) = 6$: проводим прямую $y=6$ (на графике показана зеленым пунктиром). Она пересекает параболу в двух точках с абсциссами $x \approx -1.3$ и $x \approx 5.3$.
• $f(x) = 3$: проводим прямую $y=3$ (на графике показана оранжевым пунктиром). Она пересекает параболу в точках с абсциссами $x \approx -0.8$ и $x \approx 4.8$.
• $f(x) = -2$: проводим прямую $y=-2$ (на графике показана фиолетовым пунктиром). Она пересекает параболу в точках с абсциссами $x \approx 0.3$ и $x \approx 3.7$.

Ответ: при $f(x)=6$, $x \approx -1.3$ и $x \approx 5.3$; при $f(x)=3$, $x \approx -0.8$ и $x \approx 4.8$; при $f(x)=-2$, $x \approx 0.3$ и $x \approx 3.7$.

3) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. На графике это абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.

Из графика видно, что нули функции находятся в точках $x \approx -0.2$ и $x \approx 4.2$. (Точные значения, вычисленные ранее: $x = 2 - \sqrt{5}$ и $x = 2 + \sqrt{5}$).

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит при $x \in (-\infty, 2 - \sqrt{5}) \cup (2 + \sqrt{5}, +\infty)$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит при $x \in (2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5})$.

Ответ: нули функции $x_1 = 2 - \sqrt{5} \approx -0.24$, $x_2 = 2 + \sqrt{5} \approx 4.24$. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 2 - \sqrt{5}) \cup (2 + \sqrt{5}, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5})$.

4) вершину параболы и ось симметрии.

Эти параметры были найдены на этапе анализа функции для построения графика. Вершина — это самая низкая точка параболы, а ось симметрии — это вертикальная линия, делящая параболу на две симметричные части.

Из графика видно, что вершина находится в точке $(2, -5)$. Ось симметрии (показана красным пунктиром) проходит через эту точку, и ее уравнение $x = 2$.

Ответ: вершина параболы: $(2, -5)$; ось симметрии: $x = 2$.