Страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.26. Цену товара сначала повысили на 20%, затем понизили на 20%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?

Для решения этой задачи примем первоначальную цену товара за $x$. Это 100% от цены.

1. Повышение цены на 20%

Когда цену повышают на 20%, новая цена составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, нужно умножить первоначальную цену на коэффициент, соответствующий 120%, то есть на 1,2.

Цена после повышения: $x \cdot 1.2 = 1.2x$.

2. Понижение новой цены на 20%

Теперь полученную цену $1.2x$ понижают на 20%. Важно учесть, что 20% вычисляются уже от новой, повышенной цены. То есть, цена $1.2x$ теперь принимается за 100%.

После понижения на 20% итоговая цена составит $100\% - 20\% = 80\%$ от цены $1.2x$. Чтобы найти итоговую цену, нужно умножить цену $1.2x$ на коэффициент, соответствующий 80%, то есть на 0,8.

Итоговая цена: $(1.2x) \cdot 0.8 = 0.96x$.

3. Определение изменения первоначальной цены

Первоначальная цена была $x$ (что соответствует $1x$ или 100%).

Итоговая цена стала $0.96x$ (что соответствует 96% от первоначальной цены).

Чтобы найти, на сколько процентов изменилась цена, вычтем из первоначальных процентов итоговые:

$100\% - 96\% = 4\%$.

Поскольку итоговая цена ($0.96x$) меньше первоначальной ($x$), цена уменьшилась.

Ответ: первоначальная цена товара уменьшилась на 4%.

13.27. Что больше: $20\%$ от $10\%$ данного числа или $10\%$ от его $20\%$?

Чтобы определить, какая из величин больше, давайте представим проценты в виде десятичных дробей и выполним вычисления. Обозначим "данное число" переменной $x$.
20% от 10% данного числа
Сначала найдем 10% от числа $x$. Для этого умножим $x$ на 0,10 (десятичное представление 10%).
$10\% \text{ от } x = 0,10 \times x = 0,1x$
Теперь от этого результата ($0,1x$) найдем 20%. Для этого умножим $0,1x$ на 0,20 (десятичное представление 20%).
$0,20 \times (0,1x) = (0,20 \times 0,10) \times x = 0,02x$
Таким образом, 20% от 10% числа $x$ составляют 2% от самого числа $x$.
10% от его 20%
Сначала найдем 20% от числа $x$. Для этого умножим $x$ на 0,20.
$20\% \text{ от } x = 0,20 \times x = 0,2x$
Теперь от этого результата ($0,2x$) найдем 10%. Для этого умножим $0,2x$ на 0,10.
$0,10 \times (0,2x) = (0,10 \times 0,20) \times x = 0,02x$
Таким образом, 10% от 20% числа $x$ также составляют 2% от самого числа $x$.
Сравнивая полученные результаты, мы видим, что $0,02x = 0,02x$. Это равенство следует из переместительного (коммутативного) свойства умножения, согласно которому порядок множителей не влияет на произведение ($a \times b = b \times a$). В нашем случае $0,20 \times 0,10 = 0,10 \times 0,20$.
Ответ: эти величины равны.

13.28. Решите уравнение:

1) $ (3x - 1) \cdot (2x + 7) - (x + 3) \cdot (5x - 1) = (x + 1)^2 $;

2) $ 2(x - 3) \cdot (x^2 + 3x + 9) - (x - 2)^3 = (x + 2)^3 $.

1) $(3x - 1)(2x + 7) - (x + 3)(5x - 1) = (x + 1)^2$

Сначала раскроем все скобки в уравнении. Для произведений многочленов используем правило почленного умножения, а для квадрата суммы — формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$(3x \cdot 2x + 3x \cdot 7 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 7) - (x \cdot 5x - x \cdot 1 + 3 \cdot 5x - 3 \cdot 1) = x^2 + 2x \cdot 1 + 1^2$

$(6x^2 + 21x - 2x - 7) - (5x^2 - x + 15x - 3) = x^2 + 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(6x^2 + 19x - 7) - (5x^2 + 14x - 3) = x^2 + 2x + 1$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$6x^2 + 19x - 7 - 5x^2 - 14x + 3 = x^2 + 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(6x^2 - 5x^2) + (19x - 14x) + (-7 + 3) = x^2 + 2x + 1$

$x^2 + 5x - 4 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую. При переносе через знак равенства меняем знак на противоположный.

$x^2 - x^2 + 5x - 2x = 1 + 4$

Снова приведем подобные слагаемые:

$3x = 5$

Найдем $x$:

$x = \frac{5}{3}$

Выделим целую часть:

$x = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $1\frac{2}{3}$

2) $2(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - (x - 2)^3 = (x + 2)^3$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения:

1. Формула разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

Применим ее к выражению $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$: $(x - 3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.

2. Формула куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Применим ее к $(x-2)^3$: $(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

3. Формула куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Применим ее к $(x+2)^3$: $(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$2(x^3 - 27) - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Раскроем скобки:

$2x^3 - 54 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(2x^3 - x^3) + 6x^2 - 12x + (-54 + 8) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

$x^3 + 6x^2 - 12x - 46 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Перенесем все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$x^3 + 6x^2 - 12x - 46 - x^3 - 6x^2 - 12x - 8 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (-12x - 12x) + (-46 - 8) = 0$

$-24x - 54 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-24x = 54$

Найдем $x$:

$x = \frac{54}{-24} = -\frac{54}{24}$

Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 6:

$x = -\frac{9}{4}$

Выделим целую часть:

$x = -2\frac{1}{4}$

Ответ: $-2\frac{1}{4}$

13.29. Выделите квадрат двучлена:

1) $2x^2 + 4x + 3$;

2) $x^2 + 4x - 5$;

3) $2x^2 - 4x + 3$;

4) $-x^2 - 1.4x + 0.6$.

1) Для того чтобы выделить квадрат двучлена из выражения $2x^2 + 4x + 3$, сначала вынесем общий множитель 2 за скобки из первых двух слагаемых:
$2x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 + 2x) + 3$.
Теперь поработаем с выражением в скобках $x^2 + 2x$. Чтобы получить полный квадрат, мы должны использовать формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$, а удвоенное произведение $2ab = 2x$. Отсюда следует, что $2 \cdot x \cdot b = 2x$, значит $b=1$.
Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и одновременно вычтем 1 внутри скобок, чтобы не изменить значение выражения:
$2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3$.
Теперь сгруппируем первые три слагаемых в скобках, которые образуют полный квадрат:
$2((x^2 + 2x + 1) - 1) + 3 = 2((x+1)^2 - 1) + 3$.
Раскроем внешние скобки, умножив 2 на каждый член внутри них, и приведем подобные слагаемые:
$2(x+1)^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 2(x+1)^2 - 2 + 3 = 2(x+1)^2 + 1$.
Ответ: $2(x+1)^2 + 1$.

2) Рассмотрим выражение $x^2 + 4x - 5$. Коэффициент при $x^2$ равен 1, поэтому выносить ничего не нужно.
Сразу работаем с первыми двумя слагаемыми $x^2 + 4x$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, а $2ab=4x$, значит $2 \cdot x \cdot b = 4x$, откуда $b=2$.
Для полного квадрата нам нужно слагаемое $b^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4:
$x^2 + 4x - 5 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 5$.
Первые три слагаемых сворачиваются в квадрат двучлена $(x+2)^2$. Выполним вычитание:
$(x+2)^2 - 9$.
Ответ: $(x+2)^2 - 9$.

3) Для выражения $2x^2 - 4x + 3$ сначала вынесем коэффициент 2 за скобки из первых двух слагаемых:
$2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3$.
Теперь выделим полный квадрат из выражения в скобках $x^2 - 2x$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$, а $2ab = 2x$, значит $b=1$.
Нам не хватает слагаемого $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 в скобках:
$2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$.
Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат:
$2((x^2 - 2x + 1) - 1) + 3 = 2((x-1)^2 - 1) + 3$.
Раскроем внешние скобки и упростим выражение:
$2(x-1)^2 - 2 + 3 = 2(x-1)^2 + 1$.
Ответ: $2(x-1)^2 + 1$.

4) Рассмотрим выражение $-x^2 - 1,4x + 0,6$. Вынесем коэффициент -1 за скобки из первых двух слагаемых:
$-x^2 - 1,4x + 0,6 = -(x^2 + 1,4x) + 0,6$.
Выделим полный квадрат в выражении $x^2 + 1,4x$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, а $2ab = 1,4x$, откуда $2 \cdot x \cdot b = 1,4x$, значит $b = 1,4 / 2 = 0,7$.
Для полного квадрата нужно добавить слагаемое $b^2 = 0,7^2 = 0,49$. Добавим и вычтем его в скобках:
$-(x^2 + 1,4x + 0,49 - 0,49) + 0,6$.
Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат:
$-((x^2 + 1,4x + 0,49) - 0,49) + 0,6 = -((x+0,7)^2 - 0,49) + 0,6$.
Раскроем внешние скобки, меняя знаки, и приведем подобные слагаемые:
$-(x+0,7)^2 + 0,49 + 0,6 = -(x+0,7)^2 + 1,09$.
Ответ: $-(x+0,7)^2 + 1,09$.

13.30. Найдите координаты вершины и ось симметрии параболы, заданной функцией:

1) $y = x^2 + 2;$
2) $y = x^2 - 3;$
3) $y = (x - 2)^2;$
4) $y = -(x + 3)^2.$

Для нахождения координат вершины и оси симметрии параболы, заданной в виде $y = a(x - h)^2 + k$ (вершинная форма), используются следующие свойства:
- Координаты вершины параболы находятся в точке $(h, k)$.
- Осью симметрии является вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x = h$.

1) $y = x^2 + 2$
Данное уравнение можно представить в вершинной форме, где $h=0$ и $k=2$:
$y = 1 \cdot (x - 0)^2 + 2$.
Отсюда, координаты вершины параболы: $(0, 2)$.
Уравнение оси симметрии: $x = 0$ (это ось Oy).
Ответ: координаты вершины $(0, 2)$, ось симметрии $x = 0$.

2) $y = x^2 - 3$
Представим уравнение в вершинной форме, где $h=0$ и $k=-3$:
$y = 1 \cdot (x - 0)^2 - 3$.
Следовательно, координаты вершины параболы: $(0, -3)$.
Уравнение оси симметрии: $x = 0$ (ось Oy).
Ответ: координаты вершины $(0, -3)$, ось симметрии $x = 0$.

3) $y = (x - 2)^2$
Данное уравнение уже представлено в вершинной форме. Его можно записать как $y = 1 \cdot (x - 2)^2 + 0$.
Отсюда, $h=2$ и $k=0$.
Координаты вершины параболы: $(2, 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = 2$.
Ответ: координаты вершины $(2, 0)$, ось симметрии $x = 2$.

4) $y = -(x + 3)^2$
Представим уравнение в вершинной форме. Обратим внимание, что $x+3 = x - (-3)$:
$y = -1 \cdot (x - (-3))^2 + 0$.
Отсюда, $h=-3$ и $k=0$.
Координаты вершины параболы: $(-3, 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = -3$.
Ответ: координаты вершины $(-3, 0)$, ось симметрии $x = -3$.