Страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.32. Значение произведения двух чисел равно 10, значение их суммы составляет 70% от значения произведения. Найдите эти числа.

Обозначим два искомых числа как $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, произведение этих чисел равно 10. Это можно записать в виде уравнения:
$x \cdot y = 10$

Также известно, что сумма этих чисел составляет 70% от их произведения. Найдем значение суммы:
$x + y = 0.70 \cdot (x \cdot y)$

Так как мы знаем, что $x \cdot y = 10$, подставим это значение в уравнение для суммы:
$x + y = 0.70 \cdot 10$
$x + y = 7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} x + y = 7 \\ x \cdot y = 10 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив наши значения суммы и произведения, получим:
$t^2 - 7t + 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно найти корни подбором (это числа 2 и 5, так как $2+5=7$ и $2 \cdot 5=10$) или через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$

Таким образом, искомые числа — это 2 и 5.

Ответ: 2 и 5.

12.33. Составьте квадратное уравнение, если известны его корни:

1) $x_1 = \sqrt{3} - 2$ и $x_2 = \sqrt{3} + 2;

2) $x_1 = 5 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 5 + \sqrt{3}$.

Для составления квадратного уравнения по его известным корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, искомое приведенное квадратное уравнение ($a=1$) имеет вид:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

Таким образом, нам нужно найти сумму и произведение корней для каждого случая и подставить их в эту формулу.

1) Даны корни $x_1 = \sqrt{3} - 2$ и $x_2 = \sqrt{3} + 2$.

Найдем их сумму:

$x_1 + x_2 = (\sqrt{3} - 2) + (\sqrt{3} + 2) = \sqrt{3} + \sqrt{3} - 2 + 2 = 2\sqrt{3}$

Найдем их произведение. Здесь удобно использовать формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x_1 \cdot x_2 = (\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$

Теперь подставим найденные значения суммы $(2\sqrt{3})$ и произведения $(-1)$ в общую формулу квадратного уравнения:

$x^2 - (2\sqrt{3})x + (-1) = 0$

Упрощая, получаем:

$x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$

Ответ: $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$.

2) Даны корни $x_1 = 5 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 5 + \sqrt{3}$.

Найдем их сумму:

$x_1 + x_2 = (5 - \sqrt{3}) + (5 + \sqrt{3}) = 5 + 5 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 10$

Найдем их произведение, снова используя формулу разности квадратов:

$x_1 \cdot x_2 = (5 - \sqrt{3})(5 + \sqrt{3}) = 5^2 - (\sqrt{3})^2 = 25 - 3 = 22$

Подставим найденные значения суммы $(10)$ и произведения $(22)$ в формулу:

$x^2 - (10)x + 22 = 0$

Получаем уравнение:

$x^2 - 10x + 22 = 0$

Ответ: $x^2 - 10x + 22 = 0$.

12.34. На одной координатной плоскости постройте графики функций $y = -x^2$, $y = 0,5x^2$ и $y = 2x^2$ и найдите координаты их вершин.

Как расположены параболы?

Построение графиков функций

Для построения графиков функций $y=-x^2$, $y=0,5x^2$ и $y=2x^2$ необходимо найти координаты нескольких точек для каждой параболы. Все эти функции являются частным случаем квадратичной функции $y=ax^2$, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат.

1. Для функции $y=-x^2$ составим таблицу значений:

при $x=0, y=-(0)^2=0$

при $x=\pm1, y=-({\pm1})^2=-1$

при $x=\pm2, y=-({\pm2})^2=-4$

при $x=\pm3, y=-({\pm3})^2=-9$

2. Для функции $y=0,5x^2$ составим таблицу значений:

при $x=0, y=0,5 \cdot (0)^2=0$

при $x=\pm1, y=0,5 \cdot ({\pm1})^2=0,5$

при $x=\pm2, y=0,5 \cdot ({\pm2})^2=2$

при $x=\pm4, y=0,5 \cdot ({\pm4})^2=8$

3. Для функции $y=2x^2$ составим таблицу значений:

при $x=0, y=2 \cdot (0)^2=0$

при $x=\pm1, y=2 \cdot ({\pm1})^2=2$

при $x=\pm2, y=2 \cdot ({\pm2})^2=8$

Построим графики данных функций на одной координатной плоскости, используя вычисленные точки.

Ответ: Графики функций построены на рисунке выше.

Нахождение координат вершин

Вершина параболы, заданной уравнением вида $y=ax^2$, всегда находится в начале координат. Это следует из общей формулы для вершины параболы $y=a(x-h)^2+k$, где координаты вершины равны $(h, k)$. Для функций $y=-x^2$, $y=0,5x^2$ и $y=2x^2$ значения $h$ и $k$ равны нулю.

Ответ: Координаты вершин для всех трех функций - $(0, 0)$.

Как расположены параболы?

Все три параболы имеют ряд общих свойств и различий в своем расположении:

1. Общие свойства: Все три графика являются параболами с общей вершиной в точке $(0, 0)$ и симметричны относительно оси ординат ($Oy$).

2. Направление ветвей: Направление ветвей определяется знаком коэффициента $a$.

- У функций $y=0,5x^2$ ($a=0,5>0$) и $y=2x^2$ ($a=2>0$) ветви направлены вверх.

- У функции $y=-x^2$ ($a=-1<0$) ветви направлены вниз.

3. Ширина параболы: Ширина параболы зависит от модуля коэффициента $a$ ($|a|$). Чем больше $|a|$, тем парабола "уже" (сильнее вытянута вдоль оси $Oy$).

- Сравним модули коэффициентов: $|2| > |-1| > |0,5|$.

- Следовательно, парабола $y=2x^2$ является самой узкой, а парабола $y=0,5x^2$ - самой широкой из трех. Парабола $y=-x^2$ по ширине находится между ними.

Ответ: Все параболы имеют вершину в начале координат и симметричны относительно оси $Oy$. Графики функций $y=0,5x^2$ и $y=2x^2$ расположены в верхней полуплоскости (ветви направлены вверх), причем парабола $y=2x^2$ уже, чем $y=0,5x^2$. График функции $y=-x^2$ расположен в нижней полуплоскости (ветви направлены вниз) и является зеркальным отражением графика $y=x^2$ относительно оси $Ox$.

12.35. Найдите координаты точки пересечения графиков функций:

1) $y = 2x$ и $y = \sqrt{x}$;

2) $y = -2x^2$ и $y = 3x - 5$;

3) $y = -3|x|$ и $y = x^2$;

4) $y = -1,2x + 18$ и $y = 3x^2$.

1) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = 2x$ и $y = \sqrt{x}$, приравняем их правые части:

$2x = \sqrt{x}$

Область допустимых значений для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2x)^2 = (\sqrt{x})^2$

$4x^2 = x$

Перенесем все члены в одну сторону и решим уравнение:

$4x^2 - x = 0$

$x(4x - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$4x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{4}$

Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$. Теперь найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = \frac{1}{4}$, $y_2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. Вторая точка пересечения: $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

2) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = -2x^2$ и $y = 3x - 5$, приравняем их правые части:

$-2x^2 = 3x - 5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 + 3x - 5 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в одно из уравнений (например, $y=3x-5$):

При $x_1 = 1$, $y_1 = 3 \cdot 1 - 5 = -2$. Первая точка пересечения: $(1, -2)$.

При $x_2 = -2.5$, $y_2 = 3 \cdot (-2.5) - 5 = -7.5 - 5 = -12.5$. Вторая точка пересечения: $(-2.5, -12.5)$.

Ответ: $(1, -2)$, $(-2.5, -12.5)$.

3) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = -3|x|$ и $y = x^2$, приравняем их правые части:

$x^2 = -3|x|$

Заметим, что левая часть уравнения, $x^2$, всегда неотрицательна ($x^2 \ge 0$), а правая часть, $-3|x|$, всегда неположительна ($-3|x| \le 0$). Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны нулю.

$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

$-3|x| = 0 \Rightarrow x = 0$

Таким образом, единственное решение — $x = 0$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 0^2 = 0$

Единственная точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = -1.2x + 18$ и $y = 3x^2$, приравняем их правые части:

$3x^2 = -1.2x + 18$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 + 1.2x - 18 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби, а затем разделим на 6:

$30x^2 + 12x - 180 = 0 \quad | : 6$

$5x^2 + 2x - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-30) = 4 + 600 = 604$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{604} = \sqrt{4 \cdot 151} = 2\sqrt{151}$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{604}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{151}}{10} = \frac{-1 \pm \sqrt{151}}{5}$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{151}}{5}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{151}}{5}$

Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = 3x^2$:

Для $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{151}}{5}$:

$y_1 = 3\left(\frac{-1 + \sqrt{151}}{5}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1 - 2\sqrt{151} + 151}{25} = 3 \cdot \frac{152 - 2\sqrt{151}}{25} = \frac{456 - 6\sqrt{151}}{25}$

Для $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{151}}{5}$:

$y_2 = 3\left(\frac{-1 - \sqrt{151}}{5}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1 + 2\sqrt{151} + 151}{25} = 3 \cdot \frac{152 + 2\sqrt{151}}{25} = \frac{456 + 6\sqrt{151}}{25}$

Точки пересечения:

$(\frac{-1 + \sqrt{151}}{5}, \frac{456 - 6\sqrt{151}}{25})$ и $(\frac{-1 - \sqrt{151}}{5}, \frac{456 + 6\sqrt{151}}{25})$

Ответ: $(\frac{-1 + \sqrt{151}}{5}, \frac{456 - 6\sqrt{151}}{25})$, $(\frac{-1 - \sqrt{151}}{5}, \frac{456 + 6\sqrt{151}}{25})$.