Номер 12.33, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.33. Составьте квадратное уравнение, если известны его корни:

1) $x_1 = \sqrt{3} - 2$ и $x_2 = \sqrt{3} + 2;

2) $x_1 = 5 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 5 + \sqrt{3}$.

Для составления квадратного уравнения по его известным корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, искомое приведенное квадратное уравнение ($a=1$) имеет вид:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

Таким образом, нам нужно найти сумму и произведение корней для каждого случая и подставить их в эту формулу.

1) Даны корни $x_1 = \sqrt{3} - 2$ и $x_2 = \sqrt{3} + 2$.

Найдем их сумму:

$x_1 + x_2 = (\sqrt{3} - 2) + (\sqrt{3} + 2) = \sqrt{3} + \sqrt{3} - 2 + 2 = 2\sqrt{3}$

Найдем их произведение. Здесь удобно использовать формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x_1 \cdot x_2 = (\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$

Теперь подставим найденные значения суммы $(2\sqrt{3})$ и произведения $(-1)$ в общую формулу квадратного уравнения:

$x^2 - (2\sqrt{3})x + (-1) = 0$

Упрощая, получаем:

$x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$

Ответ: $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$.

2) Даны корни $x_1 = 5 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 5 + \sqrt{3}$.

Найдем их сумму:

$x_1 + x_2 = (5 - \sqrt{3}) + (5 + \sqrt{3}) = 5 + 5 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 10$

Найдем их произведение, снова используя формулу разности квадратов:

$x_1 \cdot x_2 = (5 - \sqrt{3})(5 + \sqrt{3}) = 5^2 - (\sqrt{3})^2 = 25 - 3 = 22$

Подставим найденные значения суммы $(10)$ и произведения $(22)$ в формулу:

$x^2 - (10)x + 22 = 0$

Получаем уравнение:

$x^2 - 10x + 22 = 0$

Ответ: $x^2 - 10x + 22 = 0$.