Номер 12.34, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.34. На одной координатной плоскости постройте графики функций $y = -x^2$, $y = 0,5x^2$ и $y = 2x^2$ и найдите координаты их вершин.

Как расположены параболы?

Построение графиков функций

Для построения графиков функций $y=-x^2$, $y=0,5x^2$ и $y=2x^2$ необходимо найти координаты нескольких точек для каждой параболы. Все эти функции являются частным случаем квадратичной функции $y=ax^2$, графиком которой является парабола с вершиной в начале координат.

1. Для функции $y=-x^2$ составим таблицу значений:

при $x=0, y=-(0)^2=0$

при $x=\pm1, y=-({\pm1})^2=-1$

при $x=\pm2, y=-({\pm2})^2=-4$

при $x=\pm3, y=-({\pm3})^2=-9$

2. Для функции $y=0,5x^2$ составим таблицу значений:

при $x=0, y=0,5 \cdot (0)^2=0$

при $x=\pm1, y=0,5 \cdot ({\pm1})^2=0,5$

при $x=\pm2, y=0,5 \cdot ({\pm2})^2=2$

при $x=\pm4, y=0,5 \cdot ({\pm4})^2=8$

3. Для функции $y=2x^2$ составим таблицу значений:

при $x=0, y=2 \cdot (0)^2=0$

при $x=\pm1, y=2 \cdot ({\pm1})^2=2$

при $x=\pm2, y=2 \cdot ({\pm2})^2=8$

Построим графики данных функций на одной координатной плоскости, используя вычисленные точки.

Ответ: Графики функций построены на рисунке выше.

Нахождение координат вершин

Вершина параболы, заданной уравнением вида $y=ax^2$, всегда находится в начале координат. Это следует из общей формулы для вершины параболы $y=a(x-h)^2+k$, где координаты вершины равны $(h, k)$. Для функций $y=-x^2$, $y=0,5x^2$ и $y=2x^2$ значения $h$ и $k$ равны нулю.

Ответ: Координаты вершин для всех трех функций - $(0, 0)$.

Как расположены параболы?

Все три параболы имеют ряд общих свойств и различий в своем расположении:

1. Общие свойства: Все три графика являются параболами с общей вершиной в точке $(0, 0)$ и симметричны относительно оси ординат ($Oy$).

2. Направление ветвей: Направление ветвей определяется знаком коэффициента $a$.

- У функций $y=0,5x^2$ ($a=0,5>0$) и $y=2x^2$ ($a=2>0$) ветви направлены вверх.

- У функции $y=-x^2$ ($a=-1<0$) ветви направлены вниз.

3. Ширина параболы: Ширина параболы зависит от модуля коэффициента $a$ ($|a|$). Чем больше $|a|$, тем парабола "уже" (сильнее вытянута вдоль оси $Oy$).

- Сравним модули коэффициентов: $|2| > |-1| > |0,5|$.

- Следовательно, парабола $y=2x^2$ является самой узкой, а парабола $y=0,5x^2$ - самой широкой из трех. Парабола $y=-x^2$ по ширине находится между ними.

Ответ: Все параболы имеют вершину в начале координат и симметричны относительно оси $Oy$. Графики функций $y=0,5x^2$ и $y=2x^2$ расположены в верхней полуплоскости (ветви направлены вверх), причем парабола $y=2x^2$ уже, чем $y=0,5x^2$. График функции $y=-x^2$ расположен в нижней полуплоскости (ветви направлены вниз) и является зеркальным отражением графика $y=x^2$ относительно оси $Ox$.