Номер 12.27, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.27. На мебельной фабрике две бригады должны были изготовить по 180 книжных полок. Первая бригада в час изготовляла на 2 полки больше, чем вторая, поэтому закончила работу на 3 часа раньше. За сколько часов каждая бригада выполнила задание?

Пусть $x$ (полок/час) — производительность второй бригады. Тогда производительность первой бригады, которая изготовляла на 2 полки в час больше, составляет $x + 2$ (полок/час).

Общий объем работы для каждой бригады — 180 полок. Время выполнения работы определяется как отношение объема работы к производительности.

Время, которое потребовалось второй бригаде: $t_2 = \frac{180}{x}$ часов.

Время, которое потребовалось первой бригаде: $t_1 = \frac{180}{x+2}$ часов.

Согласно условию, первая бригада закончила работу на 3 часа раньше второй, что можно выразить уравнением:$t_2 - t_1 = 3$

Подставим выражения для времени в это уравнение:$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+2} = 3$

Для решения уравнения найдем общий знаменатель $x(x+2)$ и умножим на него обе части уравнения, учитывая, что производительность $x$ должна быть положительной ($x > 0$):$180(x+2) - 180x = 3x(x+2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:$180x + 360 - 180x = 3x^2 + 6x$$360 = 3x^2 + 6x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, предварительно разделив все члены на 3:$x^2 + 2x = 120$$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Корень $x_2 = -12$ не имеет физического смысла, так как производительность не может быть отрицательной. Поэтому производительность второй бригады равна $x = 10$ полок в час.

Производительность первой бригады, соответственно, равна: $x + 2 = 10 + 2 = 12$ полок в час.

Теперь можем найти время, затраченное каждой бригадой на выполнение всего задания (180 полок):

Время работы первой бригады: $t_1 = \frac{180}{12} = 15$ часов.

Время работы второй бригады: $t_2 = \frac{180}{10} = 18$ часов.

Проверка: разница во времени составляет $18 - 15 = 3$ часа, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: первая бригада выполнила задание за 15 часов, а вторая бригада — за 18 часов.