Номер 12.21, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.21. Один цех завода должен был изготовить 810 фанерных щитов, второй — 900 таких же щитов. Первый выполнил всю работу, затратив на это на 3 дня больше, чем второй. Сколько щитов в день делали в каждом цехе, если во втором цехе изготавливали в день на 4 щита больше, чем в первом?

Для решения задачи введем переменную. Пусть производительность первого цеха составляет $x$ щитов в день.
По условию, во втором цехе изготавливали в день на 4 щита больше, чем в первом. Следовательно, производительность второго цеха составляет $x + 4$ щитов в день.

Первый цех должен был изготовить 810 щитов. Время, затраченное первым цехом на выполнение всей работы, составляет:
$t_1 = \frac{810}{x}$ дней.

Второй цех должен был изготовить 900 щитов. Время, затраченное вторым цехом на выполнение всей работы, составляет:
$t_2 = \frac{900}{x + 4}$ дней.

Известно, что первый цех затратил на всю работу на 3 дня больше, чем второй. На основе этого составим уравнение:
$t_1 - t_2 = 3$
$\frac{810}{x} - \frac{900}{x + 4} = 3$

Решим полученное уравнение. Область допустимых значений переменной $x > 0$, так как производительность не может быть отрицательной или равной нулю.
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+4)$:
$\frac{810(x + 4) - 900x}{x(x + 4)} = 3$
$810(x + 4) - 900x = 3x(x + 4)$
Раскроем скобки:
$810x + 3240 - 900x = 3x^2 + 12x$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$3x^2 + 12x - 810x + 900x - 3240 = 0$
$3x^2 + 102x - 3240 = 0$
Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:
$x^2 + 34x - 1080 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1080) = 1156 + 4320 = 5476$
$\sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 + 74}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-34 - 74}{2 \cdot 1} = \frac{-108}{2} = -54$

Корень $x_2 = -54$ не удовлетворяет условию задачи, так как производительность не может быть отрицательной. Следовательно, производительность первого цеха составляет 20 щитов в день.

Теперь найдем производительность второго цеха:
$x + 4 = 20 + 4 = 24$ щита в день.

Выполним проверку:
Время работы первого цеха: $\frac{810}{20} = 40,5$ дней.
Время работы второго цеха: $\frac{900}{24} = 37,5$ дней.
Разница во времени: $40,5 - 37,5 = 3$ дня. Условие задачи выполнено.

Ответ: первый цех изготавливал 20 щитов в день, а второй — 24 щита в день.