Номер 12.19, страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.19.

1) Борис и Азамат наполняли газом воздушные шарики, причем Борису требовалось на наполнение одного шарика на 1 минуту меньше, чем Азамату. Сколько шариков может надуть каждый из них за 0,5 часа, если за это время Борис надувает на один шарик больше, чем Азамат?

2) Для того чтобы связать один ряд шарфа, Наташе требуется на 2 минуты больше, чем Алие. Сколько рядов может связать каждая из них за час, если за это время Наташа вяжет на 1 ряд меньше, чем Алия?

1)

Пусть $x$ (мин) - время, которое требуется Азамату для наполнения одного шарика.
Согласно условию, Борису требуется на 1 минуту меньше, то есть $(x-1)$ мин.
Общее время работы составляет 0,5 часа, что равно $0.5 \times 60 = 30$ минут.
За 30 минут Азамат надует $\frac{30}{x}$ шариков.
За 30 минут Борис надует $\frac{30}{x-1}$ шариков.
По условию, за это время Борис надувает на один шарик больше, чем Азамат. На основании этого составим уравнение:

$\frac{30}{x-1} - \frac{30}{x} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{30x - 30(x-1)}{x(x-1)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{30x - 30x + 30}{x^2 - x} = 1$

$\frac{30}{x^2 - x} = 1$

При условии, что знаменатель не равен нулю ($x \neq 0$ и $x \neq 1$), получаем:

$x^2 - x = 30$

$x^2 - x - 30 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -30$
Подбираем корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$.

Поскольку время ($x$) не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $x = 6$.
Таким образом, время Азамата на один шарик составляет 6 минут.
Время Бориса на один шарик: $x - 1 = 6 - 1 = 5$ минут.

Теперь вычислим, сколько шариков каждый из них надует за 30 минут:
Количество шариков, которые надует Азамат: $\frac{30}{6} = 5$ шариков.
Количество шариков, которые надует Борис: $\frac{30}{5} = 6$ шариков.

Проверим: $6 - 5 = 1$. Борис действительно надул на 1 шарик больше.

Ответ: за 0,5 часа Борис может надуть 6 шариков, а Азамат - 5 шариков.

2)

Пусть $y$ (мин) - время, которое требуется Алие, чтобы связать один ряд шарфа.
Согласно условию, Наташе требуется на 2 минуты больше, то есть $(y+2)$ мин.
Общее время работы составляет 1 час, что равно $60$ минут.
За 60 минут Алия свяжет $\frac{60}{y}$ рядов.
За 60 минут Наташа свяжет $\frac{60}{y+2}$ рядов.
По условию, за это время Наташа вяжет на 1 ряд меньше, чем Алия. На основании этого составим уравнение:

$\frac{60}{y} - \frac{60}{y+2} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $y(y+2)$:

$\frac{60(y+2) - 60y}{y(y+2)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{60y + 120 - 60y}{y^2 + 2y} = 1$

$\frac{120}{y^2 + 2y} = 1$

При условии, что знаменатель не равен нулю ($y \neq 0$ и $y \neq -2$), получаем:

$y^2 + 2y = 120$

$y^2 + 2y - 120 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -2$
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -120$
Подбираем корни: $y_1 = 10$ и $y_2 = -12$.

Поскольку время ($y$) не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $y = 10$.
Таким образом, время Алии на один ряд составляет 10 минут.
Время Наташи на один ряд: $y + 2 = 10 + 2 = 12$ минут.

Теперь вычислим, сколько рядов каждая из них свяжет за 60 минут:
Количество рядов, которые свяжет Алия: $\frac{60}{10} = 6$ рядов.
Количество рядов, которые свяжет Наташа: $\frac{60}{12} = 5$ рядов.

Проверим: $6 - 5 = 1$. Наташа действительно связала на 1 ряд меньше.

Ответ: за час Алия может связать 6 рядов, а Наташа - 5 рядов.