Номер 12.13, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.13. 1) Мотоциклист проезжает 200 км на 5 часов быстрее велосипедиста. Найдите их скорости, если скорость велосипедиста на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста.

2) Теплоход с туристами прошел по течению реки 10 км и против течения 8 км, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость теплохода по течению и против течения, если скорость самого течения 3 км/ч.

1)

Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч. Расстояние, которое они проезжают, равно $S = 200$ км.

Согласно условию, скорость велосипедиста на 20 км/ч меньше скорости мотоциклиста. Это можно записать в виде уравнения:

$v_в = v_м - 20$

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = S/v$. Мотоциклист проезжает 200 км на 5 часов быстрее велосипедиста, значит, время велосипедиста больше времени мотоциклиста на 5 часов:

$t_в - t_м = 5$

Подставим в это уравнение выражения для времени через скорость:

$\frac{200}{v_в} - \frac{200}{v_м} = 5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим первое уравнение во второе. Для удобства обозначим скорость мотоциклиста через $x$, тогда $v_м = x$, а $v_в = x - 20$.

$\frac{200}{x - 20} - \frac{200}{x} = 5$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 20)$:

$\frac{200x - 200(x - 20)}{x(x - 20)} = 5$

$\frac{200x - 200x + 4000}{x^2 - 20x} = 5$

$\frac{4000}{x^2 - 20x} = 5$

Умножим обе части на $x^2 - 20x$ (при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne 20$, что верно, так как скорость не может быть нулевой, а скорость велосипедиста положительна):

$4000 = 5(x^2 - 20x)$

Разделим обе части на 5:

$800 = x^2 - 20x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 20x - 800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-800) = 400 + 3200 = 3600$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-20) + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 60}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-(-20) - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{20 - 60}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -20$ не является решением задачи. Следовательно, скорость мотоциклиста $v_м = 40$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста:

$v_в = v_м - 20 = 40 - 20 = 20$ км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста — 40 км/ч, скорость велосипедиста — 20 км/ч.

2)

Пусть $v_т$ — собственная скорость теплохода (в стоячей воде) в км/ч. Скорость течения реки по условию равна $v_р = 3$ км/ч.

Скорость теплохода по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_т + v_р = v_т + 3$ км/ч.

Скорость теплохода против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения:

$v_{пр} = v_т - v_р = v_т - 3$ км/ч.

Теплоход прошел 10 км по течению, затратив на это время $t_{по} = \frac{10}{v_{по}} = \frac{10}{v_т + 3}$ часа.

Затем он прошел 8 км против течения, затратив на это время $t_{пр} = \frac{8}{v_{пр}} = \frac{8}{v_т - 3}$ часа.

Общее время в пути составило 3 часа, следовательно:

$t_{по} + t_{пр} = 3$

$\frac{10}{v_т + 3} + \frac{8}{v_т - 3} = 3$

Обозначим собственную скорость теплохода за $x$, тогда $v_т = x$. Уравнение примет вид:

$\frac{10}{x + 3} + \frac{8}{x - 3} = 3$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$:

$\frac{10(x - 3) + 8(x + 3)}{x^2 - 9} = 3$

$\frac{10x - 30 + 8x + 24}{x^2 - 9} = 3$

$\frac{18x - 6}{x^2 - 9} = 3$

Умножим обе части на $x^2 - 9$ (при условии, что $x \ne 3$ и $x \ne -3$, что верно, так как собственная скорость должна быть больше скорости течения):

$18x - 6 = 3(x^2 - 9)$

$18x - 6 = 3x^2 - 27$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 18x - 21 = 0$

Разделим все члены уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно -7. Легко подобрать корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.

Поскольку собственная скорость теплохода должна быть положительной величиной ($x > 0$), а также больше скорости течения ($x > 3$), корень $x_2 = -1$ не подходит. Значит, собственная скорость теплохода $v_т = 7$ км/ч.

Задача просит найти скорость теплохода по течению и против течения:

Скорость по течению: $v_{по} = v_т + 3 = 7 + 3 = 10$ км/ч.

Скорость против течения: $v_{пр} = v_т - 3 = 7 - 3 = 4$ км/ч.

Ответ: скорость теплохода по течению — 10 км/ч, скорость против течения — 4 км/ч.