Номер 12.17, страница 104 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.17. 1) Бассейн, содержащий $30 м^3$ воды, сначала был опорожнен, затем снова наполнен до прежнего уровня, для чего потребовалось 8 ч. Сколько времени заполнялся бассейн, если вливающий воду насос перекачивает в час на $4 м^3$ меньше, чем выливающий?

2) Аквариум объемом $1 м^3$ заполняется через два крана одновременно. Через первый кран за 1 час наливается воды на $1 м^3$ больше, чем через второй. Определите, за какое время через каждый кран в отдельности может наполниться аквариум, если через первый кран аквариум наполняется на 5 минут быстрее, чем через второй.

1)

Пусть $t_{зап}$ – время заполнения бассейна (в часах), а $t_{опор}$ – время опорожнения бассейна (в часах).
Объем бассейна $V = 30$ м³.
По условию, общее время на оба процесса составляет 8 часов:
$t_{зап} + t_{опор} = 8$

Пусть $v_{зап}$ – скорость (производительность) насоса при заполнении (в м³/ч), а $v_{опор}$ – скорость насоса при опорожнении (в м³/ч).
Связь между временем, объемом и скоростью: $t = V/v$, откуда $v = V/t$.
$v_{зап} = \frac{30}{t_{зап}}$
$v_{опор} = \frac{30}{t_{опор}}$

По условию, вливающий насос перекачивает в час на 4 м³ меньше, чем выливающий:
$v_{зап} = v_{опор} - 4$

Обозначим искомую величину, время заполнения бассейна, через $x$. Тогда $t_{зап} = x$.
Из первого уравнения следует, что $t_{опор} = 8 - x$.
Подставим эти значения в выражения для скоростей:
$v_{зап} = \frac{30}{x}$
$v_{опор} = \frac{30}{8 - x}$

Теперь подставим выражения для скоростей в уравнение, связывающее их:
$\frac{30}{x} = \frac{30}{8 - x} - 4$

Решим это уравнение. Перенесем член с дробью в левую часть:
$\frac{30}{x} - \frac{30}{8 - x} = -4$
Приведем левую часть к общему знаменателю $x(8 - x)$:
$\frac{30(8 - x) - 30x}{x(8 - x)} = -4$
$\frac{240 - 30x - 30x}{8x - x^2} = -4$
$\frac{240 - 60x}{8x - x^2} = -4$

Умножим обе части на знаменатель $8x - x^2$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 8$):
$240 - 60x = -4(8x - x^2)$
$240 - 60x = -32x + 4x^2$
$4x^2 + 60x - 32x - 240 = 0$
$4x^2 + 28x - 240 = 0$

Разделим уравнение на 4 для упрощения:
$x^2 + 7x - 60 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$
$\sqrt{D} = 17$
$x_1 = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
$x_2 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Поскольку время ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_1 = -12$ не является решением задачи.
Следовательно, время заполнения бассейна равно 5 часам.

Ответ: 5 часов.

2)

Пусть $v_1$ и $v_2$ – производительности (скорости заполнения) первого и второго кранов соответственно (в м³/ч).
Объем аквариума $V = 1$ м³.
По условию, первый кран за 1 час наливает на 1 м³ воды больше, чем второй:
$v_1 = v_2 + 1$

Пусть $t_1$ и $t_2$ – время (в часах), за которое аквариум может наполниться через каждый кран в отдельности.
$t_1 = \frac{V}{v_1} = \frac{1}{v_1}$
$t_2 = \frac{V}{v_2} = \frac{1}{v_2}$

По условию, первый кран наполняет аквариум на 5 минут быстрее второго. Переведем разницу времени в часы:
$5 \text{ минут} = \frac{5}{60} \text{ часа} = \frac{1}{12} \text{ часа}$
Таким образом, $t_2 - t_1 = \frac{1}{12}$.

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_1} = \frac{1}{12}$

Теперь используем соотношение $v_1 = v_2 + 1$ и подставим его в полученное уравнение:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_2 + 1} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_2(v_2 + 1)$:
$\frac{(v_2 + 1) - v_2}{v_2(v_2 + 1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{v_2^2 + v_2} = \frac{1}{12}$

Из этого следует равенство знаменателей:
$v_2^2 + v_2 = 12$
$v_2^2 + v_2 - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
$(v_2)_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$
$(v_2)_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$

Производительность не может быть отрицательной, поэтому $v_2 = 3$ м³/ч.
Тогда производительность первого крана: $v_1 = v_2 + 1 = 3 + 1 = 4$ м³/ч.

Найдем время наполнения для каждого крана:
Время для первого крана: $t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{4}$ часа. В минутах: $\frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ минут.
Время для второго крана: $t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{3}$ часа. В минутах: $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ минут.

Ответ: первый кран может наполнить аквариум за 15 минут, а второй – за 20 минут.