Номер 12.11, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.11.

1) Моторный катер, собственная скорость которого $8 \text{ км/ч}$, прошел по реке $15 \text{ км}$ вниз по течению и такой же путь вверх по течению. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, составляет $4 \text{ часа}$.

2) Спортивная лодка прошла $45 \text{ км}$ вверх по течению реки и такой же путь вниз по течению, затратив всего $14 \text{ часов}$. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$.

1) Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Собственная скорость катера составляет 8 км/ч. Тогда скорость катера по течению реки равна $(8 + x)$ км/ч, а скорость против течения равна $(8 - x)$ км/ч. Катер прошел 15 км вниз по течению и 15 км вверх по течению.
Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{1} = \frac{S}{v_{по течению}} = \frac{15}{8+x}$ часов.
Время, затраченное на путь против течения, равно $t_{2} = \frac{S}{v_{против течения}} = \frac{15}{8-x}$ часов.
Общее время, затраченное на весь путь, составляет 4 часа, поэтому можно составить уравнение:
$t_{1} + t_{2} = 4$
$\frac{15}{8+x} + \frac{15}{8-x} = 4$
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(8+x)(8-x)$:
$\frac{15(8-x) + 15(8+x)}{(8+x)(8-x)} = 4$
$\frac{120 - 15x + 120 + 15x}{8^2 - x^2} = 4$
$\frac{240}{64 - x^2} = 4$
$240 = 4(64 - x^2)$
Разделим обе части на 4:
$60 = 64 - x^2$
$x^2 = 64 - 60$
$x^2 = 4$
$x = \sqrt{4}$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -2$ не является решением задачи. Также для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость была больше скорости течения ($8 > x$), что выполняется для $x=2$.
Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.
Ответ: 2 км/ч.

2) Пусть собственная скорость спортивной лодки равна $x$ км/ч. Скорость течения реки составляет 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения равна $(x - 2)$ км/ч. Лодка прошла 45 км вверх по течению и 45 км вниз по течению.
Время, затраченное на путь против течения, равно $t_{1} = \frac{S}{v_{против течения}} = \frac{45}{x-2}$ часов.
Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{2} = \frac{S}{v_{по течению}} = \frac{45}{x+2}$ часов.
Общее время, затраченное на весь путь, составляет 14 часов, поэтому можно составить уравнение:
$t_{1} + t_{2} = 14$
$\frac{45}{x-2} + \frac{45}{x+2} = 14$
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:
$\frac{45(x+2) + 45(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 14$
$\frac{45x + 90 + 45x - 90}{x^2 - 4} = 14$
$\frac{90x}{x^2 - 4} = 14$
$90x = 14(x^2 - 4)$
$90x = 14x^2 - 56$
$14x^2 - 90x - 56 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$7x^2 - 45x - 28 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 2025 + 784 = 2809$
$\sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53$
Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{45 + 53}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$
$x_2 = \frac{45 - 53}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$
Поскольку собственная скорость лодки не может быть отрицательной, корень $x_2 = -4/7$ не подходит. Для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость была больше скорости течения ($x > 2$), что выполняется для $x=7$.
Следовательно, собственная скорость лодки равна 7 км/ч.
Ответ: 7 км/ч.