Номер 12.8, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.8.

1) Автомобиль был задержан в пути на 0,2 часа, затем, проехав 60 км, он наверстал это время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найдите начальную скорость автомобиля.

2) В 9 часов баржа отправилась из пункта А в пункт В, который находится в 60 км выше по течению, чем А. Спустя 2 часа после прибытия в В баржа поплыла обратно и прибыла в пункт А в 19 часов 20 минут того же дня. Найдите время, за которое баржа прибыла в пункт В, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

1) Пусть начальная скорость автомобиля равна $v$ км/ч. Тогда плановое время, за которое автомобиль должен был проехать 60 км, составляет $t_1 = \frac{60}{v}$ часов. После задержки автомобиль увеличил скорость на 15 км/ч, и его новая скорость стала $(v + 15)$ км/ч. Фактическое время, затраченное на этот участок пути, составило $t_2 = \frac{60}{v + 15}$ часов. По условию, за счет увеличения скорости автомобиль наверстал задержку в 0,2 часа. Это означает, что он проехал 60 км на 0,2 часа быстрее, чем планировалось изначально. Составим уравнение, отражающее эту разницу во времени:
$t_1 - t_2 = 0,2$
Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:
$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 15} = 0,2$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{60(v + 15) - 60v}{v(v + 15)} = 0,2$
Упростим числитель:
$\frac{60v + 900 - 60v}{v^2 + 15v} = 0,2$
$\frac{900}{v^2 + 15v} = 0,2$
Теперь решим это уравнение относительно $v$. Умножим обе части на $v^2 + 15v$ (при условии $v > 0$):
$900 = 0,2(v^2 + 15v)$
Разделим обе части на 0,2 (что эквивалентно умножению на 5):
$4500 = v^2 + 15v$
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 15v - 4500 = 0$
Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{18225} = 135$.
Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$v_1 = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_2 = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$
Поскольку скорость автомобиля не может быть отрицательной, корень $v_2 = -75$ не является решением задачи. Следовательно, начальная скорость автомобиля была 60 км/ч.
Ответ: 60 км/ч.

2) Сначала определим общее время, которое прошло с момента отправления баржи из пункта А до ее возвращения в пункт А. Баржа отплыла в 9:00 и вернулась в 19:20 того же дня. Общее время в пути и на стоянке составляет: 19 часов 20 минут – 9 часов 00 минут = 10 часов 20 минут.
Переведем минуты в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.
Таким образом, общее время составляет $10\frac{1}{3} = \frac{31}{3}$ часа.
Из этого времени нужно вычесть стоянку в пункте В, которая длилась 2 часа. Время, затраченное на движение (туда и обратно), равно:
$\frac{31}{3} - 2 = \frac{31}{3} - \frac{6}{3} = \frac{25}{3}$ часа.
Пусть собственная скорость баржи (скорость в стоячей воде) равна $v_б$ км/ч. Скорость течения реки $v_т = 3$ км/ч. Расстояние между пунктами А и В равно $S = 60$ км.
Из пункта А в пункт В баржа плыла против течения, поэтому ее скорость была $v_{против} = v_б - 3$ км/ч. Время в пути из А в В: $t_{АВ} = \frac{60}{v_б - 3}$ ч.
Из пункта В в пункт А баржа плыла по течению, ее скорость была $v_{по} = v_б + 3$ км/ч. Время в пути из В в А: $t_{ВА} = \frac{60}{v_б + 3}$ ч.
Суммарное время движения равно $t_{АВ} + t_{ВА}$. Составим уравнение:
$\frac{60}{v_б - 3} + \frac{60}{v_б + 3} = \frac{25}{3}$
Разделим все члены уравнения на 5 для упрощения вычислений:
$\frac{12}{v_б - 3} + \frac{12}{v_б + 3} = \frac{5}{3}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(v_б - 3)(v_б + 3) = v_б^2 - 9$:
$\frac{12(v_б + 3) + 12(v_б - 3)}{v_б^2 - 9} = \frac{5}{3}$
$\frac{12v_б + 36 + 12v_б - 36}{v_б^2 - 9} = \frac{5}{3}$
$\frac{24v_б}{v_б^2 - 9} = \frac{5}{3}$
Воспользуемся свойством пропорции:
$3 \cdot (24v_б) = 5 \cdot (v_б^2 - 9)$
$72v_б = 5v_б^2 - 45$
Получили квадратное уравнение: $5v_б^2 - 72v_б - 45 = 0$.
Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$.
Найдем корни уравнения:
$v_{б1} = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$
$v_{б2} = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0,6$
Собственная скорость баржи не может быть отрицательной, а также должна быть больше скорости течения, чтобы плыть против него ($v_б > 3$). Поэтому подходит только корень $v_б = 15$ км/ч.
В задаче требуется найти время, за которое баржа прибыла в пункт В, то есть $t_{АВ}$.
$t_{АВ} = \frac{60}{v_б - 3} = \frac{60}{15 - 3} = \frac{60}{12} = 5$ часов.
Ответ: 5 часов.