Номер 12.2, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.2. 1) Товарный поезд был задержан в пути на 18 минут, затем на перегоне в 60 км он наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

2) Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на 20 минут больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

1)

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость товарного поезда. Тогда $v + 10$ км/ч — новая скорость поезда на перегоне в 60 км. Поезд был задержан на 18 минут, что составляет $\frac{18}{60} = \frac{3}{10}$ часа. Это время он наверстал на перегоне длиной 60 км.

Время, которое поезд должен был затратить на этот перегон по расписанию, составляет $\frac{60}{v}$ часов. Фактическое время, затраченное на перегон с увеличенной скоростью, составляет $\frac{60}{v + 10}$ часов.

Разница между плановым и фактическим временем равна времени задержки. Составим уравнение:

$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = \frac{3}{10}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{60(v + 10) - 60v}{v(v + 10)} = \frac{3}{10}$

$\frac{60v + 600 - 60v}{v^2 + 10v} = \frac{3}{10}$

$\frac{600}{v^2 + 10v} = \frac{3}{10}$

Используем свойство пропорции:

$3(v^2 + 10v) = 600 \cdot 10$

$3(v^2 + 10v) = 6000$

Разделим обе части на 3:

$v^2 + 10v = 2000$

$v^2 + 10v - 2000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-10 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{-10 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-100}{2} = -50$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому второй корень не подходит. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

2)

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста. Тогда $v - 10$ км/ч — скорость мотоциклиста на обратном пути. Расстояние от пункта А до пункта В равно 40 км. На обратный путь мотоциклист затратил на 20 минут больше, что составляет $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.

Время, затраченное на путь из А в В, составляет $\frac{40}{v}$ часов. Время, затраченное на обратный путь, составляет $\frac{40}{v - 10}$ часов. Так как скорость на обратном пути меньше, время, затраченное на него, больше.

Составим уравнение, исходя из разницы во времени:

$\frac{40}{v - 10} - \frac{40}{v} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{40v - 40(v - 10)}{v(v - 10)} = \frac{1}{3}$

$\frac{40v - 40v + 400}{v^2 - 10v} = \frac{1}{3}$

$\frac{400}{v^2 - 10v} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции:

$v^2 - 10v = 400 \cdot 3$

$v^2 - 10v = 1200$

$v^2 - 10v - 1200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900$

$\sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{10 + 70}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{10 - 70}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому второй корень не подходит. Кроме того, по условию $v > 10$, что выполняется для $v_1 = 40$. Следовательно, первоначальная скорость мотоциклиста была 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.