Номер 11.41, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.41. 1) Сторона квадрата меньше одной стороны прямоугольника на $6 \text{ см}$, больше другой стороны на $2 \text{ см}$. Площадь квадрата меньше площади прямоугольника на $16 \text{ см}^2$. Найдите площадь квадрата.

2) Периметр прямоугольника равен $40 \text{ см}$. Если его длину увеличить на $12 \text{ см}$, а ширину уменьшить на $4 \text{ см}$, то площадь прямоугольника увеличится на $16 \text{ см}^2$. Найдите площадь прямоугольника.

1) Пусть сторона квадрата равна $x$ см. Согласно условию, одна сторона прямоугольника на 6 см больше стороны квадрата, а другая сторона на 2 см меньше. Значит, стороны прямоугольника равны $(x+6)$ см и $(x-2)$ см.

Площадь квадрата равна $S_{кв} = x^2$. Площадь прямоугольника равна $S_{пр} = (x+6)(x-2)$.

По условию, площадь квадрата на 16 см² меньше площади прямоугольника. Составим уравнение:

$S_{пр} - S_{кв} = 16$

$(x+6)(x-2) - x^2 = 16$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x^2 - 2x + 6x - 12 - x^2 = 16$

$4x - 12 = 16$

$4x = 16 + 12$

$4x = 28$

$x = 7$

Сторона квадрата равна 7 см. Тогда площадь квадрата равна:

$S_{кв} = x^2 = 7^2 = 49$ см².

Проверим: стороны прямоугольника равны $7+6=13$ см и $7-2=5$ см. Площадь прямоугольника $S_{пр} = 13 \cdot 5 = 65$ см². Разница площадей: $65 - 49 = 16$ см², что соответствует условию.

Ответ: 49 см².

2) Пусть длина прямоугольника равна $a$ см, а ширина — $b$ см. Периметр прямоугольника равен $P = 2(a+b)$.

По условию, периметр равен 40 см, значит:

$2(a+b) = 40$

$a+b = 20$

Отсюда можно выразить одну сторону через другую, например, $a = 20-b$.

Первоначальная площадь прямоугольника равна $S_1 = a \cdot b$.

После изменений длина стала $(a+12)$ см, а ширина — $(b-4)$ см. Новая площадь стала $S_2 = (a+12)(b-4)$.

По условию, новая площадь на 16 см² больше первоначальной:

$S_2 = S_1 + 16$

$(a+12)(b-4) = ab + 16$

Раскроем скобки:

$ab - 4a + 12b - 48 = ab + 16$

Сократим $ab$ в обеих частях уравнения:

$-4a + 12b - 48 = 16$

$-4a + 12b = 64$

Разделим обе части на 4:

$-a + 3b = 16$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} a+b=20 \\ -a+3b=16 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(a+b) + (-a+3b) = 20+16$

$4b = 36$

$b = 9$

Теперь найдем $a$ из первого уравнения:

$a = 20 - b = 20 - 9 = 11$

Итак, стороны исходного прямоугольника равны 11 см и 9 см. Найдем его площадь:

$S_1 = a \cdot b = 11 \cdot 9 = 99$ см².

Ответ: 99 см².