Номер 11.36, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.36. Могут ли пересекаться графики функций $y = ax^2 + 3x - 4$ и $y = ax - 5$?

Для того чтобы графики функций $y = ax^2 + 3x - 4$ и $y = ax - 5$ пересекались, необходимо, чтобы существовали значения $x$, для которых значения $y$ совпадают. Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$ax^2 + 3x - 4 = ax - 5$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$ax^2 + 3x - ax - 4 + 5 = 0$

$ax^2 + (3 - a)x + 1 = 0$

Графики функций пересекаются, если это уравнение имеет хотя бы одно действительное решение для переменной $x$. Рассмотрим это уравнение, которое является уравнением с параметром $a$.

Рассмотрим случай, когда $a = 0$. Уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 + (3 - 0)x + 1 = 0$

$3x + 1 = 0$

$x = -1/3$

Поскольку при $a = 0$ уравнение имеет один действительный корень, то графики функций пересекаются. Этого уже достаточно, чтобы дать положительный ответ на вопрос задачи.

Для полноты анализа рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант уравнения $ax^2 + (3 - a)x + 1 = 0$:

$D = (3 - a)^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 9 - 6a + a^2 - 4a = a^2 - 10a + 9$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$ относительно параметра $a$:

$a^2 - 10a + 9 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, найдём корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 10a + 9 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = 9$.

Парабола $f(a) = a^2 - 10a + 9$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $a^2$ положителен), поэтому она принимает неотрицательные значения при $a$ вне интервала между корнями. Следовательно, неравенство выполняется при $a \in (-\infty, 1] \cup [9, \infty)$.

Таким образом, графики функций пересекаются при всех значениях параметра $a$, принадлежащих множеству $(-\infty, 1] \cup [9, \infty)$. Поскольку такие значения $a$ существуют (например, $a=0$, $a=1$, $a=9$), то графики данных функций могут пересекаться.

Ответ: Да, могут.