Номер 11.29, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.29. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 2x)^2 - (x - 1)^2 = 1;$

2) $(x^2 - 6x)^2 - 2(x - 3)^2 = 81;$

3) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = -2,5;$

4) $(x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55.$

1) Исходное уравнение: $(x^2 - 2x)^2 - (x - 1)^2 = 1$.
Заметим, что $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 2x$.
Тогда $(x - 1)^2 = t + 1$.
Подставим в исходное уравнение:
$t^2 - (t + 1) = 1$
$t^2 - t - 1 - 1 = 0$
$t^2 - t - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -2$
Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $t = 2$
$x^2 - 2x = 2$
$x^2 - 2x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
Получаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{3}$.
Случай 2: $t = -1$
$x^2 - 2x = -1$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
$x - 1 = 0$
$x_3 = 1$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $1 - \sqrt{3}; 1; 1 + \sqrt{3}$.

2) Исходное уравнение: $(x^2 - 6x)^2 - 2(x - 3)^2 = 81$.
Заметим, что $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x$.
Тогда $(x - 3)^2 = t + 9$.
Подставим в исходное уравнение:
$t^2 - 2(t + 9) = 81$
$t^2 - 2t - 18 = 81$
$t^2 - 2t - 99 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 2$
$t_1 \cdot t_2 = -99$
Корни: $t_1 = 11$, $t_2 = -9$.
Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $t = 11$
$x^2 - 6x = 11$
$x^2 - 6x - 11 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$
Получаем два корня: $x_1 = 3 + 2\sqrt{5}$ и $x_2 = 3 - 2\sqrt{5}$.
Случай 2: $t = -9$
$x^2 - 6x = -9$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x - 3)^2 = 0$
$x - 3 = 0$
$x_3 = 3$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $3 - 2\sqrt{5}; 3; 3 + 2\sqrt{5}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = -2,5$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ (так как $x^2+1$ всегда больше 0 для действительных $x$).
Заметим, что дроби в левой части уравнения являются взаимно обратными.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2 + 1}{x}$.
Тогда $\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{y}$.
Подставим в исходное уравнение:
$y + \frac{1}{y} = -2,5$
Приведем к общему знаменателю $y$ (при $y \neq 0$):
$y^2 + 1 = -2,5y$
$y^2 + 2,5y + 1 = 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$2y^2 + 5y + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$y = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$
Корни: $y_1 = \frac{-5-3}{4} = -2$, $y_2 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $y = -2$
$\frac{x^2 + 1}{x} = -2$
$x^2 + 1 = -2x$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
$x + 1 = 0$
$x = -1$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Случай 2: $y = -1/2$
$\frac{x^2 + 1}{x} = -\frac{1}{2}$
$2(x^2 + 1) = -x$
$2x^2 + x + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Следовательно, у исходного уравнения один корень.
Ответ: $-1$.

4) Исходное уравнение: $(x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55$.
Заметим, что $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 2x$.
Тогда $(x + 1)^2 = t + 1$.
Подставим в исходное уравнение:
$t^2 - (t + 1) = 55$
$t^2 - t - 1 - 55 = 0$
$t^2 - t - 56 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -56$
Корни: $t_1 = 8$, $t_2 = -7$.
Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $t = 8$
$x^2 + 2x = 8$
$x^2 + 2x - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -4$.
Случай 2: $t = -7$
$x^2 + 2x = -7$
$x^2 + 2x + 7 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $-4; 2$.