Номер 11.33, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.33.

1)

$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 2} + \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{7}{6};$

2)

$\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)} = 1.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+2} + \frac{x^2+2x+2}{x^2+2x+3} = \frac{7}{6} $

Заметим, что выражение $x^2+2x$ повторяется в числителях и знаменателях. Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.Пусть $y = x^2+2x$. Тогда уравнение примет вид:

$ \frac{y+1}{y+2} + \frac{y+2}{y+3} = \frac{7}{6} $

Область допустимых значений для переменной $y$: $y+2 \neq 0$ и $y+3 \neq 0$, то есть $y \neq -2$ и $y \neq -3$.Проверим, возможны ли такие значения $y$ для действительных $x$.$x^2+2x = -2 \implies x^2+2x+2=0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 < 0$. Корней нет.$x^2+2x = -3 \implies x^2+2x+3=0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4-12 = -8 < 0$. Корней нет.Таким образом, знаменатели исходного уравнения никогда не обращаются в ноль, и ограничения на $x$ отсутствуют.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$ \frac{(y+1)(y+3) + (y+2)(y+2)}{(y+2)(y+3)} = \frac{7}{6} $

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$ \frac{(y^2+3y+y+3) + (y^2+4y+4)}{y^2+3y+2y+6} = \frac{7}{6} $

$ \frac{y^2+4y+3 + y^2+4y+4}{y^2+5y+6} = \frac{7}{6} $

$ \frac{2y^2+8y+7}{y^2+5y+6} = \frac{7}{6} $

Умножим обе части уравнения по свойству пропорции:

$ 6(2y^2+8y+7) = 7(y^2+5y+6) $

$ 12y^2+48y+42 = 7y^2+35y+42 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 12y^2 - 7y^2 + 48y - 35y + 42 - 42 = 0 $

$ 5y^2 + 13y = 0 $

Вынесем $y$ за скобки:

$ y(5y + 13) = 0 $

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$ y_1 = 0 $ или $ 5y_2 + 13 = 0 \implies y_2 = -\frac{13}{5} $

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 0$

$ x^2+2x = 0 $

$ x(x+2) = 0 $

$ x_1 = 0, x_2 = -2 $

Случай 2: $y_2 = -\frac{13}{5}$

$ x^2+2x = -\frac{13}{5} $

$ x^2+2x + \frac{13}{5} = 0 $

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дроби:

$ 5x^2+10x+13=0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ D = 10^2 - 4 \cdot 5 \cdot 13 = 100 - 260 = -160 $

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только $x=0$ и $x=-2$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2$.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = 1 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому:

$ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $

$ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $

$ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $

$ x+4 \neq 0 \implies x \neq -4 $

Умножим обе части уравнения на знаменатель (при условии, что $x$ входит в ОДЗ):

$ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) $

Раскрывать все скобки напрямую долго. Сгруппируем множители так, чтобы получить одинаковые выражения. В числителе сгруппируем $(x-1)$ с $(x-4)$ и $(x-2)$ с $(x-3)$. В знаменателе сгруппируем $(x+1)$ с $(x+4)$ и $(x+2)$ с $(x+3)$.

$ [(x-1)(x-4)] \cdot [(x-2)(x-3)] = [(x+1)(x+4)] \cdot [(x+2)(x+3)] $

Раскроем скобки в каждой группе:

$ (x^2 - 4x - x + 4)(x^2 - 3x - 2x + 6) = (x^2 + 4x + x + 4)(x^2 + 3x + 2x + 6) $

$ (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) $

Сделаем замену переменных. Пусть $a = x^2 - 5x$ и $b = x^2 + 5x$. Уравнение примет вид:

$ (a+4)(a+6) = (b+4)(b+6) $

Раскроем скобки:

$ a^2 + 6a + 4a + 24 = b^2 + 6b + 4b + 24 $

$ a^2 + 10a + 24 = b^2 + 10b + 24 $

$ a^2 + 10a = b^2 + 10b $

Перенесем все в левую часть:

$ a^2 - b^2 + 10a - 10b = 0 $

Разложим на множители:

$ (a-b)(a+b) + 10(a-b) = 0 $

$ (a-b)(a+b+10) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $a-b = 0 \implies a = b$

Выполним обратную замену:

$ x^2 - 5x = x^2 + 5x $

$ -5x = 5x $

$ 10x = 0 $

$ x = 0 $

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $a+b+10 = 0$

Выполним обратную замену:

$ (x^2 - 5x) + (x^2 + 5x) + 10 = 0 $

$ 2x^2 + 10 = 0 $

$ 2x^2 = -10 $

$ x^2 = -5 $

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Единственным решением является $x=0$.

Ответ: $x=0$.