Номер 11.38, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.38. Найдите значение выражения:

1) $2x^2 - xy - y^2$, если $x = \sqrt{5} + 1$, $y = \sqrt{5} - 1$;

2) $x^2 - 2xy + y^2$, если $x = \sqrt{3} + 2$, $y = \sqrt{3} - 2$.

1) Найдем значение выражения $2x^2 - xy - y^2$, если $x = \sqrt{5} + 1$ и $y = \sqrt{5} - 1$.
Для решения задачи подставим значения $x$ и $y$ в выражение. Чтобы упростить вычисления, сначала найдем значения $x^2$, $y^2$ и $xy$ по отдельности.
Вычисляем $x^2$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$x^2 = (\sqrt{5} + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$.
Вычисляем $y^2$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$y^2 = (\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.
Вычисляем произведение $xy$, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$xy = (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$.
Теперь подставляем найденные значения в исходное выражение:
$2x^2 - xy - y^2 = 2(6 + 2\sqrt{5}) - 4 - (6 - 2\sqrt{5})$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$12 + 4\sqrt{5} - 4 - 6 + 2\sqrt{5} = (12 - 4 - 6) + (4\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) = 2 + 6\sqrt{5}$.

Ответ: $2 + 6\sqrt{5}$.

2) Найдем значение выражения $x^2 - 2xy + y^2$, если $x = \sqrt{3} + 2$ и $y = \sqrt{3} - 2$.
Заметим, что данное выражение является формулой сокращенного умножения — квадратом разности:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Использование этой формулы значительно упрощает решение. Сначала найдем значение разности $x - y$:
$x - y = (\sqrt{3} + 2) - (\sqrt{3} - 2) = \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 2 = 4$.
Теперь подставим полученное значение в преобразованное выражение:
$(x-y)^2 = 4^2 = 16$.

Ответ: $16$.