Номер 11.32, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите корни уравнений (11.32—11.35):

11.32. 1) $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x + 2)^2} = \frac{10}{9};$

2) $\frac{u^2}{2 - u^2} + \frac{u}{2 - u} = 2.$

1) $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+2)^2} = \frac{10}{9}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x^2 \neq 0$ и $(x+2)^2 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Преобразуем левую часть уравнения. Выделим полный квадрат разности. Для этого воспользуемся формулой $a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{x+2}$.

$a-b = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{x+2-x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)}$

$ab = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x(x+2)}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(\frac{2}{x(x+2)})^2 + 2 \cdot \frac{1}{x(x+2)} = \frac{10}{9}$

$\frac{4}{(x(x+2))^2} + \frac{2}{x(x+2)} = \frac{10}{9}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{x^2+2x}$. Уравнение примет вид:

$4y^2 + 2y = \frac{10}{9}$

Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

$36y^2 + 18y = 10$

$36y^2 + 18y - 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$18y^2 + 9y - 5 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = 9^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-5) = 81 + 360 = 441 = 21^2$

$y_1 = \frac{-9 - 21}{2 \cdot 18} = \frac{-30}{36} = -\frac{5}{6}$

$y_2 = \frac{-9 + 21}{2 \cdot 18} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $y = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{x^2+2x} = \frac{1}{3}$

$x^2+2x = 3$

$x^2+2x-3 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = -\frac{5}{6}$

$\frac{1}{x^2+2x} = -\frac{5}{6}$

$-5(x^2+2x) = 6$

$-5x^2 - 10x - 6 = 0$

$5x^2+10x+6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = 10^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 100 - 120 = -20$

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = -3; 1$.

2) $\frac{u^2}{2 - u^2} + \frac{u}{2 - u} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $2-u^2 \neq 0 \implies u \neq \pm\sqrt{2}$ и $2-u \neq 0 \implies u \neq 2$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $(2-u^2)(2-u)$:

$\frac{u^2(2-u) + u(2-u^2)}{(2-u^2)(2-u)} = 2$

При условии, что $u$ входит в ОДЗ, можем умножить обе части на знаменатель:

$u^2(2-u) + u(2-u^2) = 2(2-u^2)(2-u)$

Раскроем скобки:

$2u^2 - u^3 + 2u - u^3 = 2(4 - 2u - 2u^2 + u^3)$

$2u^2 - 2u^3 + 2u = 8 - 4u - 4u^2 + 2u^3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить полиномиальное уравнение:

$2u^3 + 2u^3 - 4u^2 - 2u^2 - 4u - 2u + 8 = 0$

$4u^3 - 6u^2 - 6u + 8 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2u^3 - 3u^2 - 3u + 4 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти рациональные корни среди делителей свободного члена 4, то есть среди чисел $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим $u=1$: $2(1)^3 - 3(1)^2 - 3(1) + 4 = 2 - 3 - 3 + 4 = 0$. Значит, $u=1$ является корнем.

Разделим многочлен $2u^3 - 3u^2 - 3u + 4$ на двучлен $(u-1)$ (например, столбиком или по схеме Горнера), чтобы найти остальные корни. В результате деления получаем квадратный трехчлен $2u^2 - u - 4$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(u-1)(2u^2 - u - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $u-1=0 \implies u_1 = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2) $2u^2 - u - 4 = 0$. Решим это квадратное уравнение.

Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 1 + 32 = 33$

Корни уравнения:

$u_{2,3} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

Корни $u_2 = \frac{1+\sqrt{33}}{4}$ и $u_3 = \frac{1-\sqrt{33}}{4}$ не равны $\pm\sqrt{2}$ или $2$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.