Номер 11.25, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.25. Решите уравнение, содержащее переменную под знаком модуля:

1) $ (\frac{x+|x|}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0; $

2) $ (\frac{x-|x|}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0. $

1) Решим уравнение $(\frac{x+|x|}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x+1 \ne 0$, что означает $x \ne -1$.

Для того чтобы избавиться от знака модуля, рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$. Подставим это в уравнение:

$(\frac{x+x}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$(\frac{2x}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно выражения $\frac{2x}{x+1}$. Сделаем замену: пусть $t = \frac{2x}{x+1}$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 + t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

а) Если $t = 2$, то $\frac{2x}{x+1} = 2$.

$2x = 2(x+1)$

$2x = 2x + 2$

$0 = 2$

Получено неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

б) Если $t = -3$, то $\frac{2x}{x+1} = -3$.

$2x = -3(x+1)$

$2x = -3x - 3$

$5x = -3$

$x = -\frac{3}{5}$

Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому он не является решением исходного уравнения.

В первом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:

$(\frac{x-x}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$(\frac{0}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$0 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$\frac{2x}{x+1} = 6$

$2x = 6(x+1)$

$2x = 6x + 6$

$-4x = 6$

$x = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условиям. $x = -\frac{3}{2} < 0$ и $x = -\frac{3}{2} \ne -1$. Оба условия выполнены.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

2) Решим уравнение $(\frac{x-|x|}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$.

ОДЗ: $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.

Снова рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$(\frac{x-x}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$(\frac{0}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$0 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$-\frac{2x}{x+1} = 6$

$-2x = 6(x+1)$

$-2x = 6x + 6$

$-8x = 6$

$x = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$

Найденный корень $x = -\frac{3}{4}$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому он не является решением.

В первом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$(\frac{x-(-x)}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$(\frac{2x}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = \frac{2x}{x+1}$.

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

а) Если $t = 3$, то $\frac{2x}{x+1} = 3$.

$2x = 3(x+1)$

$2x = 3x + 3$

$-x = 3$

$x = -3$

Проверяем корень: $x = -3 < 0$ и $x = -3 \ne -1$. Условия выполнены, значит, $x=-3$ — корень.

б) Если $t = -2$, то $\frac{2x}{x+1} = -2$.

$2x = -2(x+1)$

$2x = -2x - 2$

$4x = -2$

$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверяем корень: $x = -\frac{1}{2} < 0$ и $x = -\frac{1}{2} \ne -1$. Условия выполнены, значит, $x=-\frac{1}{2}$ — тоже корень.

Таким образом, уравнение имеет два решения.

Ответ: $-3$; $-\frac{1}{2}$.