Номер 11.18, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.18. 1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$;

2) $x^4 - 11x^2 - 12 = 0$.

1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то на переменную $t$ накладывается условие $t \ge 0$.
После подстановки замены в исходное уравнение, мы получаем квадратное уравнение относительно переменной $t$:
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Теперь найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Оба найденных значения для $t$ ($t_1 = 3$ и $t_2 = 4$) являются положительными, следовательно, они удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.
1. Для $t_1 = 3$:
$x^2 = 3$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$
2. Для $t_2 = 4$:
$x^2 = 4$
$x_{3,4} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$
Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.
Ответ: $-2; -\sqrt{3}; \sqrt{3}; 2$.

2) $x^4 - 11x^2 - 12 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Применим метод замены переменной.
Пусть $t = x^2$, с условием $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид квадратного уравнения:
$t^2 - 11t - 12 = 0$
Решим его. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 = 13^2$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2} = \frac{24}{2} = 12$
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет данному условию, так как $x^2$ не может быть отрицательным в поле действительных чисел. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $t_2 = 12$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для $t = 12$:
$x^2 = 12$
$x = \pm\sqrt{12} = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm 2\sqrt{3}$
Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}$.